Exercício 4:Seja o operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(1,0)=(2,3) e T(0,1)= (1,4). Determine a expressão de T(x, y) sendo (x, y) \in \mathbb{R}^{2} arbitrário.

Passo 1

O enunciado define um operador linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} pelos valores em dois vetores da base canônica, a saber
T(1,0) = (2,3), \quad T(0,1) = (1,4).
O conteúdo é extensão de operador linear a vetores genéricos usando linearidade.

Passo 2

Qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^{2} pode ser escrito como combinação linear
(x,y) = x\,(1,0) + y\,(0,1).
Pela linearidade de T, tem-se
T(x,y) = T\bigl(x\,(1,0) + y\,(0,1)\bigr) = x\,T(1,0) + y\,T(0,1).

Passo 3

Substituindo os valores dados
T(x,y) = x\,(2,3) + y\,(1,4) = \bigl(2x + y,\;3x + 4y\bigr).

Resposta

T(x,y) = (2x + y,\;3x + 4y)

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