As questões 13-27 usam as regras para calcular determinantes específicos.
14. Aplicando operações de linha para produzir uma matriz triangular superior U, calcule
det[rrrr 1 & 2 & 3 & 0 2 & 6 & 6 & 1 -1 & 0 & 0 & 3 0 & 2 & 0 & 7 ] e det[rrrr 2 & -1 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 0 & -1 & 2 & -1 0 & 0 & -1 & 2 ]

Passo 1

O enunciado pede para calcular os determinantes de duas matrizes 4times4 usando operações de linha até transformá-las numa matriz triangular superior U. O conteúdo envolvido é o uso das propriedades das operações de linha sobre determinantes:
– trocar duas linhas muda o sinal do determinante;
– multiplicar uma linha por escalar multiplica o determinante pelo mesmo escalar;
– adicionar múltiplo de uma linha a outra (operação tipo III) não altera o determinante.

Passo 2

Vamos usar só operações tipo III (adição de múltiplos de linhas) para não alterar o valor do determinante. Ao final teremos
det(A)=det(U)=prodi=1^4 Uii

Passo 3

Para a primeira matriz
A= 1 & 2 & 3 & 0 2 & 6 & 6 & 1 -1 & 0 & 0 & 3 0 & 2 & 0 & 7 ,
fazemos:
R2 R2-2R1, R3 R3+R1
Rightarrow 1 & 2 & 3 & 0 0 & 2 & 0 & 1 0 & 2 & 3 & 3 0 & 2 & 0 & 7
e depois
R3 R3-R2, R4 R4-R2
Rightarrow U= 1 & 2 & 3 & 0 0 & 2 & 0 & 1 0 & 0 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 6
Como só usamos operações que não mudam o determinante,
det(A)=1cdot2cdot3cdot6=36

Passo 4

Para a segunda matriz
B= 2 & -1 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 0 & -1 & 2 & -1 0 & 0 & -1 & 2 ,
aplicamos
R2 R2+tfrac12R1, R3 R3+tfrac23R2, R4 R4+tfrac34R3
em sequência, obtendo
U= 2 & -1 & 0 & 0 0 & tfrac32 & -1 & 0 0 & 0 & tfrac43 & -1 0 & 0 & 0 & tfrac54
Mais uma vez, sem alterar o valor do determinante, temos
det(B) =2cdottfrac32cdottfrac43cdottfrac54 =5

Resposta

det(A)=36
det(B)=5

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