Questão 1.3
Considere os vetores v=-i+2 j+2 k, w=3 i-j+k \in \mathbb{R}^{3}.
a) Calcule o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se v e w são vetores linearmente independentes.
c) Verifique se u=(0,1,1) pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) Encontre vetores x, y \in \mathbb{R}^{3} tais que \mathrm{v}=\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{y} \perp \mathrm{wex} \| \mathrm{w}.
e) Calcule o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v = -i + 2j + 2k = \left(-1,\,2,\,2\right),
w = 3i - j + k = \left(3,\,-1,\,1\right)
e pede:
a) o ângulo entre v e w em graus (1 casa decimal);
b) verificar se v e w são linearmente independentes;
c) verificar se u = (0,1,1) pertence ao subespaço gerado por v e w;
d) encontrar x,y\in\mathbb{R}^3 tais que v=x+y, com y\perp w e x\parallel w;
e) calcular o ângulo entre x e y em graus (1 casa decimal).

Passo 2

Vamos começar lembrando e explicando como calcular o ângulo entre dois vetores.
Definições importantes:
  • Produto escalar: para \,a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
a\cdot b = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Isto mede “quanto” um vetor aponta na direção do outro (positivo se apontam em sentido geral igual, negativo se em sentidos opostos).
  • Norma (comprimento) de um vetor:
\|a\| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
  • Relação com o ângulo \theta entre a e b:
\cos\theta = \frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|}.
Para obter \theta em graus usamos \theta = \operatorname{arccos}(\cdot) e convertemos de radianos para graus.
Agora aplicamos isso a v e w.

Passo 3

Calculemos o produto escalar e as normas de v e w.
Produto escalar:
v\cdot w = (-1)\cdot 3 + 2\cdot(-1) + 2\cdot 1 = -3 -2 +2 = -3.
Normas:
\|v\| = \sqrt{(-1)^2+2^2+2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3,
\|w\| = \sqrt{3^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{9+1+1} = \sqrt{11}.
Portanto
\cos\theta = \frac{v\cdot w}{\|v\|\,\|w\|} = \frac{-3}{3\sqrt{11}} = -\frac{1}{\sqrt{11}}.

Passo 4

Agora obtemos o ângulo \theta. Calculamos
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(-\frac{1}{\sqrt{11}}\right).
Usando a conversão para graus e arredondando para uma casa decimal (faça este passo com uma calculadora na prova ou tabelas), obtemos
\theta \approx 107,5^\circ.
Explicação intuitiva: o cosseno negativo significa que o ângulo é maior que 90^\circ, e o valor -1/\sqrt{11} dá aproximadamente -0,3015, cujo arccos em graus é \approx 107,5^\circ.

Passo 5

Verificação da independência linear de v e w.
Definição prática: dois vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes se e só se um for múltiplo escalar do outro. Então testamos se existe \lambda tal que v=\lambda w.
Comparando componentes, se v=\lambda w então
-1 = 3\lambda \Rightarrow \lambda = -\tfrac{1}{3},
mas da segunda componente
2 = -1\cdot \lambda \Rightarrow \lambda = -2.
Como os dois valores de \lambda são diferentes, não existe \lambda que satisfaça todas as componentes. Logo v e w NÃO são múltiplos um do outro, portanto são linearmente independentes.

Passo 6

Verificação se u=(0,1,1) pertence ao subespaço gerado por v e w (isto é, se existem escalares a,b tais que a v + b w = u).
Escrevemos o sistema nas componentes:
Primeira componente:
-a + 3b = 0.
Segunda componente:
2a - b = 1.
Terceira componente:
2a + b = 1.
Da primeira equação temos a = 3b. Substituindo na segunda:
2(3b) - b = 1 \Rightarrow 6b - b = 1 \Rightarrow 5b = 1 \Rightarrow b = \tfrac{1}{5},
a = 3b = \tfrac{3}{5}.
Agora verificamos a terceira equação com esses valores:
2a + b = 2\left(\tfrac{3}{5}\right) + \tfrac{1}{5} = \tfrac{6}{5} + \tfrac{1}{5} = \tfrac{7}{5} = 1{,}4 \neq 1.
Portanto o sistema é inconsistente: não existem a,b que satisfaçam simultaneamente todas as componentes. Conclusão: u não pertence ao subespaço gerado por v e w.

Passo 7

Construção de x e y com v = x + y, y\perp w e x\parallel w.
Isto é o desvio ortogonal clássico: escrevemos v como soma de uma componente paralela a w (projeção de v sobre w) e uma componente ortogonal a w.
Fórmula da projeção de v sobre w:
\operatorname{proj}_w(v) = \frac{v\cdot w}{w\cdot w}\,w.
Já calculámos v\cdot w = -3 e w\cdot w = \|w\|^2 = 11. Então
x = \operatorname{proj}_w(v) = \frac{-3}{11}\,w = \frac{-3}{11}\,(3,\,-1,\,1) = \left(-\tfrac{9}{11},\,\tfrac{3}{11},\,-\tfrac{3}{11}\right).
Agora y = v - x. Calculamos componente a componente:
y = \left(-1,\,2,\,2\right) - \left(-\tfrac{9}{11},\,\tfrac{3}{11},\,-\tfrac{3}{11}\right) = \left(-1+\tfrac{9}{11},\,2-\tfrac{3}{11},\,2+\tfrac{3}{11}\right).
Convertendo para frações com denominador 11:
y = \left(-\tfrac{2}{11},\,\tfrac{19}{11},\,\tfrac{25}{11}\right).
Verificação rápida de ortogonalidade:
w\cdot y = 3\left(-\tfrac{2}{11}\right) + (-1)\left(\tfrac{19}{11}\right) + 1\left(\tfrac{25}{11}\right) = \frac{-6-19+25}{11} = 0,
logo y\perp w, e por construção x é múltiplo de w, ou seja x\parallel w.

Passo 8

Ângulo entre x e y. Observação teórica curta: se x\parallel w e y\perp w, então x é perpendicular a y (porque qualquer vetor paralelo a w é ortogonal a todo vetor ortogonal a w). Assim
x\cdot y = 0 \quad\Rightarrow\quad \cos\varphi = 0 \quad\Rightarrow\quad \varphi = 90^\circ.
Arredondando com uma casa decimal: \varphi = 90{,}0^\circ.

Resposta

a) \theta \approx 107{,}5^\circ
b) v e w são linearmente independentes.
c) u não pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) x = \left(-\tfrac{9}{11},\,\tfrac{3}{11},\,-\tfrac{3}{11}\right),\quad y = \left(-\tfrac{2}{11},\,\tfrac{19}{11},\,\tfrac{25}{11}\right)
e) ângulo entre x e y: \;90{,}0^\circ

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