Questão 1.3
Considere os vetores
.
a) Calcule o ângulo entre
e
em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se
e
são vetores linearmente independentes.
c) Verifique se
pertence ao subespaço gerado por
e
.
d) Encontre vetores
tais que
.
e) Calcule o ângulo entre
e
em graus com precisão de uma casa decimal.
Considere os vetores
a) Calcule o ângulo entre
b) Determine se
c) Verifique se
d) Encontre vetores
e) Calcule o ângulo entre
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e pede:
a) o ângulo entre e
em graus (1 casa decimal);
b) verificar se e
são linearmente independentes;
c) verificar se pertence ao subespaço gerado por
e
;
d) encontrar tais que
, com
e
;
e) calcular o ângulo entre e
em graus (1 casa decimal).
a) o ângulo entre
b) verificar se
c) verificar se
d) encontrar
e) calcular o ângulo entre
Passo 2
Vamos começar lembrando e explicando como calcular o ângulo entre dois vetores.
Definições importantes:
Definições importantes:
- Produto escalar: para
e ,
Isto mede “quanto” um vetor aponta na direção do outro (positivo se apontam em sentido geral igual, negativo se em sentidos opostos).
- Norma (comprimento) de um vetor:
- Relação com o ângulo
entre e :
Para obter
em graus usamos
e convertemos de radianos para graus.
Agora aplicamos isso a
e
.
Passo 3
Calculemos o produto escalar e as normas de
e
.
Produto escalar:
Normas:
Portanto
Passo 4
Agora obtemos o ângulo
. Calculamos
Usando a conversão para graus e arredondando para uma casa decimal (faça este passo com uma calculadora na prova ou tabelas), obtemos
Explicação intuitiva: o cosseno negativo significa que o ângulo é maior que
, e o valor
dá aproximadamente
, cujo arccos em graus é
.
Passo 5
Verificação da independência linear de
e
.
Definição prática: dois vetores em são linearmente dependentes se e só se um for múltiplo escalar do outro. Então testamos se existe
tal que
.
Definição prática: dois vetores em
Comparando componentes, se
então
mas da segunda componente
Como os dois valores de
são diferentes, não existe
que satisfaça todas as componentes. Logo
e
NÃO são múltiplos um do outro, portanto são linearmente independentes.
Passo 6
Verificação se
pertence ao subespaço gerado por
e
(isto é, se existem escalares
tais que
).
Escrevemos o sistema nas componentes:
Escrevemos o sistema nas componentes:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Da primeira equação temos
. Substituindo na segunda:
Agora verificamos a terceira equação com esses valores:
Portanto o sistema é inconsistente: não existem
que satisfaçam simultaneamente todas as componentes. Conclusão:
não pertence ao subespaço gerado por
e
.
Passo 7
Construção de
e
com
,
e
.
Isto é o desvio ortogonal clássico: escrevemos como soma de uma componente paralela a
(projeção de
sobre
) e uma componente ortogonal a
.
Isto é o desvio ortogonal clássico: escrevemos
Fórmula da projeção de
sobre
:
Já calculámos
e
. Então
Agora
. Calculamos componente a componente:
Convertendo para frações com denominador
:
Verificação rápida de ortogonalidade:
logo
, e por construção
é múltiplo de
, ou seja
.
Passo 8
Ângulo entre
e
. Observação teórica curta: se
e
, então
é perpendicular a
(porque qualquer vetor paralelo a
é ortogonal a todo vetor ortogonal a
). Assim
Arredondando com uma casa decimal:
.
Resposta
a)
b) e
são linearmente independentes.
c) não pertence ao subespaço gerado por
e
.
d)
e) ângulo entre e
:
b)
c)
d)
e) ângulo entre