Questão 1.4

Considere os vetores v=2 i+3 j-4 k, w=-i+j+2 k \in \mathbb{R}^{3}.
a) Calcule o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se v e w são vetores linearmente independentes.
c) Verifique se u=(3,2,-1) pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) Encontre vetores x, y \in \mathbb{R}^{3} tais que \mathrm{v}=\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{y} \perp \mathrm{wex} \| \mathrm{w}.
e) Calcule o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

O enunciado dá os vetores v, w e u em \mathbb{R}^3 e faz cinco perguntas. Vou listar exatamente o que foi dado e o que se pede, sem resolver nada ainda.
Dados:
v = 2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-4\mathbf{k} \quad\text{(ou seja }v=(2,3,-4)\text{)}
w = -\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k} \quad\text{(ou seja }w=(-1,1,2)\text{)}
u=(3,2,-1)
Perguntas:
a) Calcular o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determinar se v e w são linearmente independentes.
c) Verificar se u pertence ao subespaço gerado por v e w (isto é, se u\in\operatorname{span}\{v,w\}).
d) Encontrar vetores x,y\in\mathbb{R}^3 tais que v=x+y, com y\perp w e x\parallel w.
e) Calcular o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 2

Parte (a): conceito e fórmula.
Para achar o ângulo entre dois vetores usamos o produto escalar e a relação
v\cdot w = \|v\|\,\|w\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre v e w. Assim
\cos\theta = \frac{v\cdot w}{\|v\|\,\|w\|},
e então \theta = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{v\cdot w}{\|v\|\,\|w\|}\right).
Explico os termos: v\cdot w é a soma dos produtos das componentes correspondentes; \|v\| é a norma (comprimento) de v, dada por \|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.

Passo 3

Parte (a): cálculo numérico passo a passo.
Calculemos o produto escalar:
v\cdot w = (2)(-1) + (3)(1) + (-4)(2) = -2 + 3 - 8 = -7.
Calculemos as normas:
\|v\| = \sqrt{2^2+3^2+(-4)^2} = \sqrt{4+9+16} = \sqrt{29},
\|w\| = \sqrt{(-1)^2+1^2+2^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}.
Agora a razão:
\cos\theta = \frac{-7}{\sqrt{29}\,\sqrt{6}} = \frac{-7}{\sqrt{174}} \approx -0,530516.
Portanto
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{-7}{\sqrt{174}}\right).
Transformando para graus e arredondando para uma casa decimal obtemos \theta \approx 122{,}0^\circ. (Explicação: \operatorname{arccos}(-0{,}530516) em graus dá cerca de 122{,}04^\circ, que arredonda para 122{,}0^\circ.)

Passo 4

Parte (b): definição e verificação.
Dois vetores v e w em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes se um deles é múltiplo escalar do outro, isto é, existe \lambda\in\mathbb{R} tal que v=\lambda w ou w=\lambda v. Se não existir tal \lambda, são linearmente independentes.
Para testar, suponha v=\lambda w. Comparando a primeira componente:
2 = \lambda(-1) \implies \lambda = -2.
Se \lambda=-2, a segunda componente deveria satisfazer 3 = \lambda\cdot 1 = -2, o que é falso. Logo não existe escalar \lambda que faça v=\lambda w. Portanto v e w são linearmente independentes.

Passo 5

Parte (c): conceito de subespaço gerado e procedimento para verificar pertença.
O subespaço gerado por v\) e \(w\) é \[\operatorname{span}\{v,w\} = \{a v + b w \mid a,b\in\mathbb{R}\}.
Para verificar se u pertence a esse subespaço, procuramos a,b tais que
a v + b w = u.
Isto gera um sistema linear para as componentes:
\begin{cases} 2a - b = 3,\\[4pt] 3a + b = 2,\\[4pt] -4a + 2b = -1. \end{cases}
Resolvendo as duas primeiras equações: somando-as,
(2a - b) + (3a + b) = 3 + 2 \implies 5a = 5 \implies a = 1.
Com a=1\], da segunda equação vem \(3\cdot1 + b =2 então b = -1. Verificamos a terceira equação com a=1,b=-1:
-4(1) + 2(-1) = -4 -2 = -6 \neq -1.
Como a terceira equação não é satisfeita, o sistema é inconsistente: não existem a,b que resolvam todas as componentes simultaneamente. Conclusão: u não pertence a \operatorname{span}\{v,w\}.]

Passo 6

Parte (d): decomposição em componente paralela e perpendicular e fórmula da projeção.
Quando pedem v=x+y com x\parallel w e y\perp w, estamos pedindo a decomposição ortogonal de v em uma componente paralela a w (projeção de v sobre w) e a componente ortogonal a w. A fórmula da projeção de v sobre w é
\operatorname{proj}_w v = \frac{v\cdot w}{w\cdot w}\,w.
Chamamos x=\operatorname{proj}_w v e y=v-x. Vou calcular explicitamente.

Passo 7

Parte (d): cálculo da projeção e de y.
Já temos v\cdot w = -7 e w\cdot w = \|w\|^2 = 6. Então
x = \operatorname{proj}_w v = \frac{-7}{6}\,w = \frac{-7}{6}(-1,1,2).
Multiplicando escalarmente:
x = \left(\frac{7}{6}, -\frac{7}{6}, -\frac{14}{6}\right) = \left(\frac{7}{6}, -\frac{7}{6}, -\frac{7}{3}\right).
Agora
y = v - x = \left(2,3,-4\right) - \left(\frac{7}{6}, -\frac{7}{6}, -\frac{7}{3}\right).
Calculando componente a componente:
y = \left(2-\frac{7}{6},\;3 - \left(-\frac{7}{6}\right),\;-4 - \left(-\frac{7}{3}\right)\right) = \left(\frac{5}{6},\;\frac{25}{6},\;-\frac{5}{3}\right).
Para checar que está correto: calcule y\cdot w:
y\cdot w = \frac{5}{6}(-1) + \frac{25}{6}(1) + \left(-\frac{5}{3}\right)(2) = -\frac{5}{6} + \frac{25}{6} - \frac{10}{3} = \frac{20}{6} - \frac{20}{6} = 0,
logo y\perp w. E claramente x é múltiplo de w, logo x\parallel w. Portanto as condições estão satisfeitas.

Passo 8

Parte (e): ângulo entre x e y.
O ângulo \varphi entre dois vetores x e y obedece
\cos\varphi = \frac{x\cdot y}{\|x\|\,\|y\|}.
Mas já verificámos que y\perp w e que x é paralelo a w. Como x é paralelo a w e y é perpendicular a w, segue que x é perpendicular a y. Outra forma de ver: calculamos diretamente x\cdot y e obtemos zero (produto escalar das componentes dá 0). Assim \cos\varphi = 0, logo
\varphi = 90^\circ.
Arredondando para uma casa decimal: \varphi = 90{,}0^\circ.

Resposta

a) 122{,}0^\circ
b) v e w são linearmente independentes.
c) u não pertence a \operatorname{span}\{v,w\}.
d) x=\left(\dfrac{7}{6}, -\dfrac{7}{6}, -\dfrac{7}{3}\right),\quad y=\left(\dfrac{5}{6}, \dfrac{25}{6}, -\dfrac{5}{3}\right).
e) 90{,}0^\circ

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