Questão 1.2
Considere os vetores v=4 i+j-3 k, w=-2 i+2 j+k \in \mathbb{R}^{3}.
a) Calcule o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se v e w são vetores linearmente independentes.
c) Verifique se u=(2,1,0) pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) Encontre vetores x, y \in \mathbb{R}^{3} tais que \mathrm{v}=\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{y} \perp \mathrm{wex} \| \mathrm{w}.
e) Calcule o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.
Passo 1
O enunciado dá os vetores v e w em \mathbb{R}^3 e faz várias perguntas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede:
Dados:
v = 4i + 1j - 3k \quad\text{ou seja}\quad v=(4,1,-3),
w = -2i + 2j + 1k \quad\text{ou seja}\quad w=(-2,2,1),
e o vetor
u=(2,1,0).
Perguntas:
a) Calcular o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Verificar se v e w são linearmente independentes.
c) Verificar se u pertence ao subespaço gerado por v e w (isto é, se u\in\operatorname{span}\{v,w\}).
d) Encontrar vetores x,y\in\mathbb{R}^3 tais que v=x+y com y\perp w e x\parallel w.
e) Calcular o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.
Agora que sabemos exatamente o que é pedido e quais são os dados, começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Preparação: explicar e usar produto escalar e norma (a base para o item (a) e para decomposição no item (d)).
Definição do produto escalar em \mathbb{R}^3: para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
Avaliação numérica (conversão para graus): calculando numericamente a expressão obtemos \theta \approx 126{,}0^\circ (arredondado para uma casa decimal). Vou considerar isso como resposta do item (a).
Passo 5
Respondendo (b): verificar independência linear de v e w.
Conceito curto: dois vetores não-nulos em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes somente se um for múltiplo escalar do outro. Então basta checar se existe \lambda tal que v=\lambda w.
Comparando componentes: 4/(-2) = -2, 1/2 = 0{,}5. Como -2 \neq 0{,}5, não existe escalar \lambda que transforme w em v. Portanto v e w são linearmente independentes. (Resposta do item (b): sim, são linearmente independentes.)
Passo 6
Respondendo (c): verificar se [u\in\operatorname{span}{v,w}).
Isto significa ver se existem escalares a,b tais que
a v + b w = u.
Escrevendo por componentes (usando os v,w,u do enunciado):
a(4,1,-3) + b(-2,2,1) = (2,1,0).
Isto gera o sistema linear:
\begin{cases} 4a - 2b = 2,\\[4pt] a + 2b = 1,\\[4pt] -3a + b = 0. \end{cases}
Vou resolver as duas primeiras equações e checar a terceira para consistência.
Da primeira: (4a - 2b = 2 \Rightarrow 2a - b = 1 \Rightarrow b = 2a - 1.]
Substituir na segunda: a + 2b = 1 \Rightarrow a + 2(2a-1) = 1 \Rightarrow a + 4a -2 = 1 \Rightarrow 5a = 3 \Rightarrow a = \tfrac{3}{5} = 0{,}6.
Então b = 2a - 1 = 2\cdot\tfrac{3}{5} - 1 = \tfrac{6}{5}-1 = \tfrac{1}{5} = 0{,}2.
Agora verificar a terceira equação: -3a + b = -3\cdot\tfrac{3}{5} + \tfrac{1}{5} = \dfrac{-9+1}{5} = \dfrac{-8}{5} \neq 0. Ou seja, a terceira equação não é satisfeita por esses a,b. Logo o sistema é inconsistente: não existem a,b que resolvam todas as três equações simultaneamente. Conclusão: u\notin\operatorname{span}\{v,w\}. (Resposta do item (c): não pertence.)]
Passo 7
Explicação e método para (d): decomposição de v em componente paralela a w e componente ortogonal a w.
Queremos x paralelo a w e y perpendicular a w com v=x+y. Sempre que desejamos decompor um vetor v em parte paralela a um vetor não-nulo w e parte perpendicular a w, usamos a projeção de v sobre w.
Fórmula da projeção de v sobre w (com justificativa rápida): procuramos x=\lambda w tal que y=v-x seja ortogonal a w. A condição y\cdot w = 0 dá
(v-\lambda w)\cdot w = 0 \Rightarrow v\cdot w - \lambda (w\cdot w) = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{v\cdot w}{w\cdot w}.
Assim
x = \operatorname{proj}_w v = \frac{v\cdot w}{w\cdot w}\, w,
e então y = v - x. Vou aplicar isso com os dados já calculados: v\cdot w = -9 e w\cdot w = \|w\|^2 = 9.
Produto escalar zero significa que os vetores são ortogonais, logo o ângulo entre eles é \varphi=90^\circ. Em notação com uma casa decimal: 90{,}0^\circ.
Passo 10
Resumo final e incentivo: fizemos tudo passo a passo — produto escalar, norma, checagem de dependência linear, resolução do sistema para testar pertencimento ao subespaço e decomposição por projeção. Se quiser, posso repetir esses passos com outros vetores para treinar; você está indo bem, aguenta firme que essa parte de álgebra linear é meio chata mas fica óbvia com prática!
Resposta
(a) 126{,}0^\circ
(b) Sim; v e w são linearmente independentes.
(c) Não; u\notin\operatorname{span}\{v,w\}.
(d) x=(2,-2,-1), y=(2,3,-2).
(e) 90{,}0^\circ