Considere os vetores v=-3 i+2 j+k, w=4 i+j-2 k \in \mathbb{R}^{3}.
a) Calcule o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se v e w são vetores linearmente independentes.
c) Verifique se u=(1,-1,0) pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) Encontre vetores x, y \in \mathbb{R}^{3} tais que v=x+y, y \perp w e x \| w.
e) Calcule o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.
Passo 1
O enunciado dá os vetores \,v=-3\,i+2\,j+k e \,w=4\,i+j-2\,k em \mathbb{R}^3 (vou tratar cada vetor como coordenadas: v=(-3,2,1) e w=(4,1,-2)). As perguntas são:
(a) Calcular o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
(b) Determinar se v e w são linearmente independentes.
(c) Verificar se u=(1,-1,0) pertence ao subespaço gerado por v e w.
(d) Encontrar vetores x,y\in\mathbb{R}^3 tais que v=x+y, y\perp w e x\parallel w.
(e) Calcular o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.
Informações relevantes dadas (listas de dados que usaremos):
v = (-3,\,2,\,1),\qquad w = (4,\,1,\,-2),\qquad u=(1,-1,0).
Passo 2
Conceito e fórmula para o ângulo entre vetores — aula rápida e prática:
Produto escalar (dot product) de dois vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) é
a\cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
Ele mede “quanto” um vetor aponta na direção do outro.
Norma (comprimento) de um vetor a é
\|a\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}.
A relação que liga produto escalar e ângulo \theta entre a e b é
\cos\theta = \frac{a\cdot b}{\|a\|\|b\|}.
Daí \theta = \operatorname{arccos}\!\big(\frac{a\cdot b}{\|a\|\|b\|}\big). Vou aplicar isso a v e w.
Passo 3
Calcular o produto escalar v\cdot w e as normas \|v\| e \|w\|.
Convertendo para graus e arredondando para uma casa decimal obtemos
\theta \approx 134{,}4^\circ.
Explicação curta de verificação: o cosseno é negativo, então o ângulo é maior que 90^\circ — faz sentido visualmente: vetores apontam em direções opostas em certa medida.
Passo 5
Verificar linearidade (independência linear) de v e w — conceito e teste rápido:
Dois vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes exatamente quando um é múltiplo escalar do outro (colineares).
Teste prático: comparar razões das componentes (se todas iguais, são múltiplos).
então y\perp w. E claramente x é múltiplo de w, logo x\parallel w. E x+y=v por construção.
Passo 9
Calcular o ângulo entre x e y.
Observação conceitual: se y\perp w e x\parallel w, então x é paralelo a w e, portanto, x é ortogonal a y. Ou seja, x\cdot y = 0. Vetores ortogonais formam ângulo de 90^\circ.
Portanto o ângulo entre x e y é
90{,}0^\circ.
Resposta
(a) 134{,}4^\circ
(b) Sim — v e w são linearmente independentes.
(c) Não — u não pertence ao \text{span}\{v,w\}.
(d) x=\big(-\tfrac{16}{7},-\tfrac{4}{7},\tfrac{8}{7}\big),\quad y=\big(-\tfrac{5}{7},\tfrac{18}{7},-\tfrac{1}{7}\big).
(e) 90{,}0^\circ