Questão 1.8

Considere os vetores v=-3 i+2 j+k, w=4 i+j-2 k \in \mathbb{R}^{3}.
a) Calcule o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se v e w são vetores linearmente independentes.
c) Verifique se u=(1,-1,0) pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) Encontre vetores x, y \in \mathbb{R}^{3} tais que v=x+y, y \perp w e x \| w.
e) Calcule o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,v=-3\,i+2\,j+k e \,w=4\,i+j-2\,k em \mathbb{R}^3 (vou tratar cada vetor como coordenadas: v=(-3,2,1) e w=(4,1,-2)). As perguntas são:
  1. (a) Calcular o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
  2. (b) Determinar se v e w são linearmente independentes.
  3. (c) Verificar se u=(1,-1,0) pertence ao subespaço gerado por v e w.
  4. (d) Encontrar vetores x,y\in\mathbb{R}^3 tais que v=x+y, y\perp w e x\parallel w.
  5. (e) Calcular o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.
Informações relevantes dadas (listas de dados que usaremos):
v = (-3,\,2,\,1),\qquad w = (4,\,1,\,-2),\qquad u=(1,-1,0).

Passo 2

Conceito e fórmula para o ângulo entre vetores — aula rápida e prática:
  • Produto escalar (dot product) de dois vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) é
a\cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
Ele mede “quanto” um vetor aponta na direção do outro.
  • Norma (comprimento) de um vetor a é
\|a\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}.
  • A relação que liga produto escalar e ângulo \theta entre a e b é
\cos\theta = \frac{a\cdot b}{\|a\|\|b\|}.
Daí \theta = \operatorname{arccos}\!\big(\frac{a\cdot b}{\|a\|\|b\|}\big). Vou aplicar isso a v e w.

Passo 3

Calcular o produto escalar v\cdot w e as normas \|v\| e \|w\|.
Produto escalar:
v\cdot w = (-3)\cdot 4 + 2\cdot 1 + 1\cdot(-2) = -12 + 2 -2 = -12.
Normas:
\|v\| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9+4+1} = \sqrt{14}.
\|w\| = \sqrt{4^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{16+1+4} = \sqrt{21}.
Observação útil (facilita cálculo): \|v\|\,\|w\| = \sqrt{14}\sqrt{21} = \sqrt{294} = 7\sqrt{6} porque 294=49\cdot6.

Passo 4

Aplicar a fórmula do cosseno e obter o ângulo.
Cosseno do ângulo:
\cos\theta = \frac{v\cdot w}{\|v\|\|w\|} = \frac{-12}{7\sqrt{6}}.
Valor numérico:
\frac{-12}{7\sqrt{6}} \approx -0{,}7001401773.
Agora o ângulo:
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigg(\frac{-12}{7\sqrt{6}}\bigg).
Convertendo para graus e arredondando para uma casa decimal obtemos
\theta \approx 134{,}4^\circ.
Explicação curta de verificação: o cosseno é negativo, então o ângulo é maior que 90^\circ — faz sentido visualmente: vetores apontam em direções opostas em certa medida.

Passo 5

Verificar linearidade (independência linear) de v e w — conceito e teste rápido:
  • Dois vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes exatamente quando um é múltiplo escalar do outro (colineares).
  • Teste prático: comparar razões das componentes (se todas iguais, são múltiplos).
Comparando:
\frac{-3}{4} = -0{,}75,\qquad \frac{2}{1}=2,\qquad \frac{1}{-2}=-0{,}5.
As razões não são iguais, logo v não é múltiplo de w. Portanto v e w são linearmente independentes.

Passo 6

Verificar se u=(1,-1,0) pertence ao subespaço gerado por v e w — procedimento:
  • Pertencer à \text{span}\{v,w\} significa existir escalares a,b tais que
a v + b w = u.
Escrevemos coordenada a coordenada e resolvemos o sistema para a,b.
Sistema (componentes):
\begin{cases} -3a + 4b = 1,\\[4pt] 2a + 1b = -1,\\[4pt] 1a -2b = 0. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema passo a passo.
Da terceira equação:
a - 2b = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 2b.
Substituir na segunda equação:
2(2b) + b = -1 \quad\Rightarrow\quad 4b + b = -1 \quad\Rightarrow\quad 5b = -1 \quad\Rightarrow\quad b = -\tfrac{1}{5}.
Então
a = 2b = -\tfrac{2}{5}.
Agora verificar se esses a,b satisfazem a primeira equação:
-3a + 4b = -3\big(-\tfrac{2}{5}\big) + 4\big(-\tfrac{1}{5}\big) = \tfrac{6}{5} - \tfrac{4}{5} = \tfrac{2}{5}.
Mas \tfrac{2}{5} \neq 1. Há inconsistência: não existe par (a,b) que resolva todas as três equações simultaneamente.
Conclusão: u não pertence ao subespaço gerado por v e w.

Passo 8

Encontrar x e y com v=x+y, y\perp w e x\parallel w — ideia e fórmula:
  • Essa é a decomposição ortogonal de v em direção de w: x é a projeção de v sobre w e y é a componente perpendicular.
  • Fórmula da projeção de v sobre w:
\operatorname{proj}_w(v) = \frac{v\cdot w}{w\cdot w}\,w.
Aqui x=\operatorname{proj}_w(v) e y = v-x.
Calcular w\cdot w e o escalar:
w\cdot w = 4^2 + 1^2 + (-2)^2 = 21.
\frac{v\cdot w}{w\cdot w} = \frac{-12}{21} = -\tfrac{4}{7}.
Logo
x = -\tfrac{4}{7}w = -\tfrac{4}{7}(4,1,-2) = \big(-\tfrac{16}{7},\, -\tfrac{4}{7},\, \tfrac{8}{7}\big).
E
y = v - x = (-3,2,1) - \big(-\tfrac{16}{7},\, -\tfrac{4}{7},\, \tfrac{8}{7}\big).
Fazendo as contas componente a componente:
y = \Big(-3 + \tfrac{16}{7},\; 2 + \tfrac{4}{7},\; 1 - \tfrac{8}{7}\Big) = \Big(-\tfrac{5}{7},\; \tfrac{18}{7},\; -\tfrac{1}{7}\Big).
Verificação rápida (mostrando que fizemos certo): calcular y\cdot w:
y\cdot w = \big(-\tfrac{5}{7}\big)4 + \big(\tfrac{18}{7}\big)1 + \big(-\tfrac{1}{7}\big)(-2) = \tfrac{-20 + 18 + 2}{7} = 0,
então y\perp w. E claramente x é múltiplo de w, logo x\parallel w. E x+y=v por construção.

Passo 9

Calcular o ângulo entre x e y.
Observação conceitual: se y\perp w e x\parallel w, então x é paralelo a w e, portanto, x é ortogonal a y. Ou seja, x\cdot y = 0. Vetores ortogonais formam ângulo de 90^\circ.
Portanto o ângulo entre x e y é
90{,}0^\circ.

Resposta

(a) 134{,}4^\circ
(b) Sim — v e w são linearmente independentes.
(c) Não — u não pertence ao \text{span}\{v,w\}.
(d) x=\big(-\tfrac{16}{7},-\tfrac{4}{7},\tfrac{8}{7}\big),\quad y=\big(-\tfrac{5}{7},\tfrac{18}{7},-\tfrac{1}{7}\big).
(e) 90{,}0^\circ

Exercícios relacionados