Considere os vetores v=5 i-j+2 k, w=-i+4 j-k \in \mathbb{R}^{3}.
a) Calcule o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se v e w são vetores linearmente independentes.
c) Verifique se u=(2,1,3) pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) Encontre vetores x, y \in \mathbb{R}^{3} tais que v=x+y, y \perp w e x \| w.
e) Calcule o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.
Passo 1
O enunciado dá os vetores v=5\,i-j+2\,k e w=-i+4\,j-k em \mathbb{R}^{3} e pede cinco coisas:
(a) Calcular o ângulo entre v e w em graus com uma casa decimal.
(b) Determinar se v e w são linearmente independentes.
(c) Verificar se u=(2,1,3) pertence ao subespaço gerado por v e w.
(d) Encontrar x,y\in\mathbb{R}^{3} tais que v=x+y, y\perp w e x\parallel w.
(e) Calcular o ângulo entre x e y em graus com uma casa decimal.
Informações relevantes dadas:
v=(5,-1,2),\qquad w=(-1,4,-1),\qquad u=(2,1,3).
Passo 2
Para calcular o ângulo entre dois vetores usamos produto escalar e normas. Vou explicar essas ferramentas passo a passo.
Definições:
Produto escalar: para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
a\cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
Esse número mede “quanto” os vetores estão alinhados.
Norma (comprimento) de um vetor a:
\|a\| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
Relação com o ângulo \theta entre a e b:
a\cdot b = \|a\|\,\|b\| \cos\theta.
Assim,
\cos\theta = \frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|},
e \theta=\operatorname{arccos}(\cdot). Para passar para graus multiplicamos por 180/\pi.
Avalio numericamente (para obter o ângulo em graus): \sqrt{540}\approx 23{,}23790008, então
\cos\theta \approx -0{,}473572151.
Aplicando \theta=\operatorname{arccos}(\cos\theta) e convertendo para graus obtemos, com uma casa decimal,
\theta \approx 118{,}3^\circ.
Passo 6
Verificação de independência linear de v e w.
Dois vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes se um é múltiplo escalar do outro (ou seja, se existe c tal que v=cw). Para testar isso basta comparar coordenadas.
Se v=cw então das primeiras coordenadas teríamos 5 = c(-1)\Rightarrow c=-5. Das segundas coordenadas teríamos -1 = c\cdot 4\Rightarrow c=-\tfrac{1}{4}. Esses dois valores de c não coincidem, logo não existe escalar c que transforme w em v. Portanto v e w não são múltiplos um do outro, isto é, são linearmente independentes.
Passo 7
Verificação se [u=(2,1,3)) pertence a \mathrm{span}\{v,w\}.
Pertencer ao subespaço gerado por v,w significa que existem escalares \alpha,\beta tais que
\alpha v + \beta w = u.
Escrevo o sistema de coordenadas: com v=(5,-1,2) e w=(-1,4,-1),
Mas a terceira equação exige que esse resultado seja 3, e \tfrac{11}{19}\neq 3. Logo o sistema é inconsistente: não existem \alpha,\beta que satisfaçam simultaneamente as três equações. Conclusão: u não pertence ao subespaço gerado por v e w.]
Passo 8
Construção de x e y com v=x+y,\;y\perp w,\;x\parallel w.
Esta é a decomposição ortogonal de v em uma parte paralela a w e outra perpendicular a w. A fórmula da projeção de v sobre w dá a componente paralela:
x = \operatorname{proj}_{w} v = \frac{v\cdot w}{w\cdot w}\,w.
Já y = v - x será a componente ortogonal (pois v-x é perpendicular a w).
Calculos:
v\cdot w = -11 \quad\text{(já calculado)},\qquad w\cdot w = \|w\|^{2} = 18.á
Portanto
x = \frac{-11}{18}\,w = \frac{-11}{18}\,(-1,4,-1) = \left(\frac{11}{18},-\frac{44}{18},\frac{11}{18}\right).
Simplificando a segunda componente:
x = \left(\frac{11}{18},-\frac{22}{9},\frac{11}{18}\right).
y = \left(\frac{79}{18},\frac{13}{9},\frac{25}{18}\right).
Verificação rápida: x é múltiplo de w por construção; e
y\cdot w = \frac{79}{18}(-1)+\frac{13}{9}\cdot 4 + \frac{25}{18}(-1) = \frac{-79+104-25}{18}=0,
logo y\perp w. Assim v=x+y com as propriedades pedidas.
Passo 9
Cálculo do ângulo entre x e y.
Observação útil: x é paralelo a w (pois x é múltiplo escalar de w) e y é perpendicular a w. Se um vetor é paralelo a w e outro é perpendicular a w, então esses dois vetores são perpendiculares entre si. Mais formalmente, como x=cw para algum escalar c, temos
x\cdot y = c(w\cdot y)=c\cdot 0 = 0,
logo x\perp y. Portanto o ângulo entre x e y é 90^\circ.
Resposta
(a) 118{,}3^\circ
(b) v e w são linearmente independentes.
(c) u não pertence ao subespaço gerado por v e w.
(d) x=\left(\tfrac{11}{18},-\tfrac{22}{9},\tfrac{11}{18}\right),\; y=\left(\tfrac{79}{18},\tfrac{13}{9},\tfrac{25}{18}\right).
(e) 90{,}0^\circ