Questão 1.7

Considere os vetores v=5 i-j+2 k, w=-i+4 j-k \in \mathbb{R}^{3}.
a) Calcule o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se v e w são vetores linearmente independentes.
c) Verifique se u=(2,1,3) pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) Encontre vetores x, y \in \mathbb{R}^{3} tais que v=x+y, y \perp w e x \| w.
e) Calcule o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

O enunciado dá os vetores v=5\,i-j+2\,k e w=-i+4\,j-k em \mathbb{R}^{3} e pede cinco coisas:
  • (a) Calcular o ângulo entre v e w em graus com uma casa decimal.
  • (b) Determinar se v e w são linearmente independentes.
  • (c) Verificar se u=(2,1,3) pertence ao subespaço gerado por v e w.
  • (d) Encontrar x,y\in\mathbb{R}^{3} tais que v=x+y, y\perp w e x\parallel w.
  • (e) Calcular o ângulo entre x e y em graus com uma casa decimal.
Informações relevantes dadas:
v=(5,-1,2),\qquad w=(-1,4,-1),\qquad u=(2,1,3).

Passo 2

Para calcular o ângulo entre dois vetores usamos produto escalar e normas. Vou explicar essas ferramentas passo a passo.
Definições:
  • Produto escalar: para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
a\cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
Esse número mede “quanto” os vetores estão alinhados.
  • Norma (comprimento) de um vetor a:
\|a\| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
  • Relação com o ângulo \theta entre a e b:
a\cdot b = \|a\|\,\|b\| \cos\theta.
Assim,
\cos\theta = \frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|},
e \theta=\operatorname{arccos}(\cdot). Para passar para graus multiplicamos por 180/\pi.
Agora aplico isso a v e w.

Passo 3

Calculo do produto escalar v\cdot w.
v\cdot w = 5\cdot(-1) + (-1)\cdot 4 + 2\cdot(-1).
Faço termo a termo:
5\cdot(-1) = -5,\qquad (-1)\cdot 4 = -4,\qquad 2\cdot(-1) = -2.
Somando:
v\cdot w = -5 -4 -2 = -11.

Passo 4

Calculo das normas \|v\| e \|w\|.
Para v:
\|v\| = \sqrt{5^{2}+(-1)^{2}+2^{2}} = \sqrt{25+1+4} = \sqrt{30}.
Para w:
\|w\| = \sqrt{(-1)^{2}+4^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{1+16+1} = \sqrt{18}.

Passo 5

Agora calculo \cos\theta e o ângulo \theta.
\cos\theta = \frac{v\cdot w}{\|v\|\,\|w\|} = \frac{-11}{\sqrt{30}\,\sqrt{18}} = \frac{-11}{\sqrt{540}}.
Avalio numericamente (para obter o ângulo em graus): \sqrt{540}\approx 23{,}23790008, então
\cos\theta \approx -0{,}473572151.
Aplicando \theta=\operatorname{arccos}(\cos\theta) e convertendo para graus obtemos, com uma casa decimal,
\theta \approx 118{,}3^\circ.

Passo 6

Verificação de independência linear de v e w.
Dois vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes se um é múltiplo escalar do outro (ou seja, se existe c tal que v=cw). Para testar isso basta comparar coordenadas.
Se v=cw então das primeiras coordenadas teríamos 5 = c(-1)\Rightarrow c=-5. Das segundas coordenadas teríamos -1 = c\cdot 4\Rightarrow c=-\tfrac{1}{4}. Esses dois valores de c não coincidem, logo não existe escalar c que transforme w em v. Portanto v e w não são múltiplos um do outro, isto é, são linearmente independentes.

Passo 7

Verificação se [u=(2,1,3)) pertence a \mathrm{span}\{v,w\}.
Pertencer ao subespaço gerado por v,w significa que existem escalares \alpha,\beta tais que
\alpha v + \beta w = u.
Escrevo o sistema de coordenadas: com v=(5,-1,2) e w=(-1,4,-1),
\begin{cases} 5\alpha - \beta = 2,\\[4pt] -\alpha + 4\beta = 1,\\[4pt] 2\alpha - \beta = 3. \end{cases}
Resolvo as duas primeiras equações para \alpha\] e \(\beta. Da primeira:
- \beta = 2 - 5\alpha \quad\Rightarrow\quad \beta = 5\alpha - 2.
Substituo na segunda:
-\alpha + 4(5\alpha -2) = 1 \quad\Rightarrow\quad -\alpha +20\alpha -8 =1,
19\alpha = 9 \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{9}{19}.
Então
\beta = 5\cdot\frac{9}{19} - 2 = \frac{45}{19} - \frac{38}{19} = \frac{7}{19}.
Agora verifico a terceira equação: o lado esquerdo com esses \alpha,\beta é
2\alpha - \beta = 2\cdot\frac{9}{19} - \frac{7}{19} = \frac{18-7}{19} = \frac{11}{19}.
Mas a terceira equação exige que esse resultado seja 3, e \tfrac{11}{19}\neq 3. Logo o sistema é inconsistente: não existem \alpha,\beta que satisfaçam simultaneamente as três equações. Conclusão: u não pertence ao subespaço gerado por v e w.]

Passo 8

Construção de x e y com v=x+y,\;y\perp w,\;x\parallel w.
Esta é a decomposição ortogonal de v em uma parte paralela a w e outra perpendicular a w. A fórmula da projeção de v sobre w dá a componente paralela:
x = \operatorname{proj}_{w} v = \frac{v\cdot w}{w\cdot w}\,w.
y = v - x será a componente ortogonal (pois v-x é perpendicular a w).
Calculos:
v\cdot w = -11 \quad\text{(já calculado)},\qquad w\cdot w = \|w\|^{2} = 18.á
Portanto
x = \frac{-11}{18}\,w = \frac{-11}{18}\,(-1,4,-1) = \left(\frac{11}{18},-\frac{44}{18},\frac{11}{18}\right).
Simplificando a segunda componente:
x = \left(\frac{11}{18},-\frac{22}{9},\frac{11}{18}\right).
Agora y = v - x. Faço cada componente:
\text{1ª: }5 - \frac{11}{18} = \frac{90-11}{18} = \frac{79}{18}.ª
\text{2ª: }-1 -\left(-\frac{22}{9}\right) = -1 + \frac{22}{9} = \frac{-9+22}{9} = \frac{13}{9}.ª
\text{3ª: }2 - \frac{11}{18} = \frac{36-11}{18} = \frac{25}{18}.ª
Logo
y = \left(\frac{79}{18},\frac{13}{9},\frac{25}{18}\right).
Verificação rápida: x é múltiplo de w por construção; e
y\cdot w = \frac{79}{18}(-1)+\frac{13}{9}\cdot 4 + \frac{25}{18}(-1) = \frac{-79+104-25}{18}=0,
logo y\perp w. Assim v=x+y com as propriedades pedidas.

Passo 9

Cálculo do ângulo entre x e y.
Observação útil: x é paralelo a w (pois x é múltiplo escalar de w) e y é perpendicular a w. Se um vetor é paralelo a w e outro é perpendicular a w, então esses dois vetores são perpendiculares entre si. Mais formalmente, como x=cw para algum escalar c, temos
x\cdot y = c(w\cdot y)=c\cdot 0 = 0,
logo x\perp y. Portanto o ângulo entre x e y é 90^\circ.

Resposta

(a) 118{,}3^\circ
(b) v e w são linearmente independentes.
(c) u não pertence ao subespaço gerado por v e w.
(d) x=\left(\tfrac{11}{18},-\tfrac{22}{9},\tfrac{11}{18}\right),\; y=\left(\tfrac{79}{18},\tfrac{13}{9},\tfrac{25}{18}\right).
(e) 90{,}0^\circ

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