Questão 1.10

Considere os vetores v=-i-2 j+k, w=3 i-j+2 k \in \mathbb{R}^{3}.
a) Calcule o ângulo entre v e w, em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se v e w são vetores linearmente independentes.
c) Verifique se u=(1,2,1) pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) Encontre vetores x, y \in \mathbb{R}^{3} tais que v=x+y, y \perp w \mathrm{e} x \| w.
e) Calcule o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

Dados do enunciado:
v = -\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k} = (-1,-2,1),
w = 3\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k} = (3,-1,2),
u = (1,2,1).
O que é pedido:
a) Calcular o ângulo entre v e w (em graus, uma casa decimal).
b) Dizer se v e w são linearmente independentes.
c) Verificar se u pertence ao subespaço gerado por v e w (ou seja, se existem escalares \alpha,\beta tais que \alpha v+\beta w=u).
d) Encontrar x,y\in\mathbb{R}^3 tais que v=x+y, com y\perp w e x\parallel w.
e) Calcular o ângulo entre x e y (em graus, uma casa decimal).

Passo 2

Relembrando a definição e a fórmula do ângulo entre vetores (aula rápida): para dois vetores a,b\in\mathbb{R}^3 o produto escalar é
a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
A norma (comprimento) de a é
\|a\| = \sqrt{a\cdot a}.
A fórmula que relaciona produto escalar e ângulo \theta entre a e b é
a\cdot b = \|a\|\,\|b\|\,\cos\theta,
da qual isolamos
\cos\theta = \frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|}.
Vou aplicar isso a v e w.

Passo 3

Calcular produto escalar e normas de v e w.
Produto escalar:
v\cdot w = (-1)\cdot 3 + (-2)\cdot(-1) + 1\cdot 2 = -3 + 2 + 2 = 1.
Normas:
\|v\| = \sqrt{(-1)^2+(-2)^2+1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}.
\|w\| = \sqrt{3^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}.
Calcular \cos\theta:
\cos\theta = \frac{v\cdot w}{\|v\|\,\|w\|} = \frac{1}{\sqrt{6}\,\sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{84}}.
Valor numérico aproximado (para obter o ângulo):
\sqrt{84}\approx 9,165151389\quad\Rightarrow\quad \cos\theta \approx 0,109109.
Portanto
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{84}}\right) \approx 83,7^\circ.

Passo 4

Teste de independência linear (explicação e aplicação): dois vetores não-nulos em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes iff um é múltiplo escalar do outro. Para verificar, procuro \lambda tal que v=\lambda w. Isso exige que as três coordenadas satisfaçam:
-1 = 3\lambda,\quad -2 = -1\lambda,\quad 1 = 2\lambda.
Da primeira teríamos \lambda=-\tfrac{1}{3}; da segunda \lambda=2; da terceira \lambda=\tfrac{1}{2}. Como os valores de \lambda não coincidem, não existe \lambda que satisfaça todas as três iguaisdades: logo v e w não são múltiplos um do outro, portanto são linearmente independentes.

Passo 5

Verificação se u pertence ao subespaço gerado por v,w (explicação do método): precisamos ver se existem \alpha,\beta tais que
\alpha v + \beta w = u.
Escrevo o sistema coordenada a coordenada. Usando v=(-1,-2,1) e w=(3,-1,2):
-\alpha + 3\beta = 1, \tag{1}
-2\alpha - \beta = 2, \tag{2}
\alpha + 2\beta = 1. \tag{3}
Posso resolver (1) e (3) por exemplo. Da equação (3) temos
\alpha = 1 - 2\beta.
Substituindo em (1):
-(1-2\beta) + 3\beta = 1 \quad\Rightarrow\quad -1 +2\beta +3\beta =1 \quad\Rightarrow\quad 5\beta = 2 \quad\Rightarrow\quad \beta = \tfrac{2}{5}.
Então
\alpha = 1 - 2\cdot \tfrac{2}{5} = 1 - \tfrac{4}{5} = \tfrac{1}{5}.
Agora verifico se esses \alpha,\beta satisfazem a equação (2):
-2\alpha - \beta = -2\cdot\tfrac{1}{5} - \tfrac{2}{5} = -\tfrac{2}{5} - \tfrac{2}{5} = -\tfrac{4}{5},
mas a (2) pede que esse lado seja 2. Como -\tfrac{4}{5}\neq 2, o sistema é inconsistente: não existem \alpha,\beta que resolvam todas as três equações. Conclusão: u não pertence ao subespaço gerado por v.

Passo 6

Construção de x e y com v=x+y, x\parallel w, y\perp w. Ideia (aula didática): decompor v em componente paralela a w (a projeção de v sobre w) mais componente ortogonal a w. Se x\parallel w, escrevemos x = t w para algum escalar t. Então
y = v - x = v - t w.
A condição y\perp w é (v - t w)\cdot w = 0. Desenvolvendo:
v\cdot w - t\, w\cdot w = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{v\cdot w}{w\cdot w}.
Isto é exatamente a fórmula da projeção orthogonal de v sobre w.
Calcular t: já temos v\cdot w = 1 e
w\cdot w = \|w\|^2 = 14.
Então
t = \frac{1}{14}.
Portanto
x = \frac{1}{14} w = \frac{1}{14}(3,-1,2) = \left(\frac{3}{14}, -\frac{1}{14}, \frac{1}{7}\right).
E
y = v - x = (-1,-2,1) - \left(\frac{3}{14}, -\frac{1}{14}, \frac{1}{7}\right).
Calcule coordenada a coordenada (transformando tudo em décimos-quatorze avos quando conveniente):
y_1 = -1 - \frac{3}{14} = -\frac{14}{14} - \frac{3}{14} = -\frac{17}{14},
y_2 = -2 - \left(-\frac{1}{14}\right) = -2 + \frac{1}{14} = -\frac{28}{14} + \frac{1}{14} = -\frac{27}{14},
y_3 = 1 - \frac{1}{7} = 1 - \frac{2}{14} = \frac{14}{14} - \frac{2}{14} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}.
Logo
y = \left(-\frac{17}{14}, -\frac{27}{14}, \frac{6}{7}\right).
Verificação rápida do requisito y\perp w:
y\cdot w = \left(-\frac{17}{14}\right)3 + \left(-\frac{27}{14}\right)(-1) + \frac{6}{7}\cdot 2 = \frac{-51 +27 +24}{14} = \frac{0}{14} = 0.
Tudo consistente: x\parallel w e y\perp w.

Passo 7

Cálculo do ângulo entre x e y.
Observação útil (aula): quando decomponho v em componente paralela a w mais componente perpendicular a w, essas duas componentes são ortogonais por construção. Aqui x é a projeção de v sobre w e y é a rejeção; portanto devemos ter x\cdot y = 0.
Faço o produto escalar explicitamente para confirmar:
Convertendo x e y para a mesma base de denominadores (usar décimos-quatorze avos):
x = \left(\frac{3}{14}, -\frac{1}{14}, \frac{2}{14}\right),\quad y = \left(-\frac{17}{14}, -\frac{27}{14}, \frac{12}{14}\right).
Então
x\cdot y = \frac{1}{14^2}\big(3\cdot(-17) + (-1)\cdot(-27) + 2\cdot 12\big) = \frac{1}{196}(-51 +27 +24) = \frac{0}{196} = 0.
Como \;x\cdot y=0\;, segue que \cos\varphi = 0 onde \varphi é o ângulo entre x e y. Assim
\varphi = 90^\circ.
Para satisfazer a precisão pedida (uma casa decimal): \varphi = 90,0^\circ.

Resposta

a) 83,7^\circ
b) Sim, v e w são linearmente independentes.
c) Não, u não pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) x=\left(\dfrac{3}{14},-\dfrac{1}{14},\dfrac{1}{7}\right),\quad y=\left(-\dfrac{17}{14},-\dfrac{27}{14},\dfrac{6}{7}\right).
e) 90,0^\circ

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