Considere os vetores v=-2 i+j+4 k, w=3 i+2 j-k \in \mathbb{R}^{3}.
a) Calcule o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se v e w são vetores linearmente independentes.
c) Verifique se u=(1,1,2) pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) Encontre vetores x, y \in \mathbb{R}^{3} tais que v=x+y, y \perp w e x \| w.
e) Calcule o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
v = -2\,i + 1\,j + 4\,k = (-2,1,4),
w = 3\,i + 2\,j - 1\,k = (3,2,-1),
e pede cinco coisas:
(a) Calcular o ângulo entre v e w em graus com uma casa decimal.
(b) Determinar se v e w são linearmente independentes.
(c) Verificar se u=(1,1,2) pertence ao subespaço gerado por v e w.
(d) Encontrar vetores x,y\in\mathbb{R}^3 tais que v = x + y, y\perp w e x \parallel w.
(e) Calcular o ângulo entre x e y em graus com uma casa decimal.
Anotei todas as informações do enunciado: as coordenadas de v, w e u e as cinco perguntas acima. A partir daqui vou resolver passo a passo.
Passo 2
(a) Para achar o ângulo entre dois vetores usamos a fórmula do produto escalar:
v\cdot w = \|v\|\,\|w\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre v e w, v\cdot w é o produto escalar e \|v\| é a norma (comprimento) de v.
Explico as fórmulas:
Produto escalar para vetores em \mathbb{R}^3: se a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) então
Para obter \theta em graus, calculamos \theta = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-8}{\sqrt{294}}\right) e em seguida convertemos de radianos para graus se necessário (multiplicando por 180/\pi). Agora faço a aproximação numérica com precisão suficiente para a casa decimal final:
(b) Para verificar se v e w são linearmente independentes com dois vetores em \mathbb{R}^3: eles são linearmente dependentes somente se um for múltiplo escalar do outro, isto é, se existir \lambda\in\mathbb{R} tal que v=\lambda w.
Procuramos \lambda tal que (-2,1,4)=\lambda(3,2,-1). Compare componentes:
Os dois valores de \lambda são diferentes (-2/3\neq 1/2), então não existe um único \lambda que satisfaça todas as componentes. Portanto v não é múltiplo de w, isto é, v e w são linearmente independentes.
Passo 4
(c) Pergunta se u=(1,1,2)\) pertence ao subespaço gerado por \(v\) e \(w\) significa: existem escalares \(\alpha,\beta\) tais que
\[\alpha v + \beta w = u.
Escrevo o sistema de componentes (usando v=(-2,1,4) e w=(3,2,-1)):
Agora verifico a terceira equação com esses \alpha,\beta\]:
\[4\alpha - \beta = 4\cdot \dfrac{1}{7} - \dfrac{3}{7} = \dfrac{4-3}{7} = \dfrac{1}{7}.\]
Mas a terceira equação exige \(4\alpha - \beta = 2. Temos \dfrac{1}{7}\neq 2, logo o sistema é inconsistente: não existem \alpha,\beta que satisfaçam as três equações simultaneamente.
Conclusão: u não pertence ao subespaço gerado por v e w.]
Passo 5
(d) Pedem x,y tais que v=x+y, y\perp w e x\parallel w. Isso é exatamente a decomposição de v em uma componente paralela a w e uma componente ortogonal a w. O procedimento padrão é:
x é a projeção de v sobre w:
x = \operatorname{proj}_{w} v = \frac{v\cdot w}{w\cdot w}\, w.
y = v - x (essa diferença é ortogonal a w).
Calcule w\cdot w e v\cdot w (já calculei v\cdot w=-8 antes):
portanto y\perp w como desejado. E x é múltiplo de w, logo x\parallel w. E claramente x+y=v pela construção.
Passo 6
(e) Ângulo entre x e y. Observação chave: como construímos x como a projeção de v sobre w e y=v-x com y\perp w, então y é perpendicular a w. Como x é paralelo a w, temos que x é paralelo a w e y é perpendicular a w. Portanto x é perpendicular a y. Em termos do produto escalar,
x\cdot y = 0.
Logo o ângulo entre x e y satisfaz \cos\varphi = 0, ou seja \varphi = 90^\circ.
Em notação com uma casa decimal:
\varphi = 90{,}0^\circ.
Resposta
(a) 117{,}8^\circ
(b) v e w são linearmente independentes.
(c) u não pertence ao subespaço gerado por v e w.
(d) x=\left(-\dfrac{12}{7},-\dfrac{8}{7},\dfrac{4}{7}\right),\; y=\left(-\dfrac{2}{7},\dfrac{15}{7},\dfrac{24}{7}\right).
(e) 90{,}0^\circ.