Considere os vetores v=-2 i+j+4 k, w=3 i+2 j-k \in \mathbb{R}^{3}.
a) Calcule o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se v e w são vetores linearmente independentes.
c) Verifique se u=(1,1,2) pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) Encontre vetores x, y \in \mathbb{R}^{3} tais que v=x+y, y \perp w e x \| w.
e) Calcule o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v = -2\,i + 1\,j + 4\,k = (-2,1,4),
w = 3\,i + 2\,j - 1\,k = (3,2,-1),
e pede cinco coisas:
  1. (a) Calcular o ângulo entre v e w em graus com uma casa decimal.
  2. (b) Determinar se v e w são linearmente independentes.
  3. (c) Verificar se u=(1,1,2) pertence ao subespaço gerado por v e w.
  4. (d) Encontrar vetores x,y\in\mathbb{R}^3 tais que v = x + y, y\perp w e x \parallel w.
  5. (e) Calcular o ângulo entre x e y em graus com uma casa decimal.
Anotei todas as informações do enunciado: as coordenadas de v, w e u e as cinco perguntas acima. A partir daqui vou resolver passo a passo.

Passo 2

(a) Para achar o ângulo entre dois vetores usamos a fórmula do produto escalar:
v\cdot w = \|v\|\,\|w\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre v e w, v\cdot w é o produto escalar e \|v\| é a norma (comprimento) de v.
Explico as fórmulas:
  • Produto escalar para vetores em \mathbb{R}^3: se a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) então
a\cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
  • Norma (magnitude) de a:
\|a\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}.
  • Isolando \cos\theta:
\cos\theta = \frac{v\cdot w}{\|v\|\,\|w\|}.
Agora aplico isso aos nossos vetores.
Calcule o produto escalar:
v\cdot w = (-2)\cdot 3 + 1\cdot 2 + 4\cdot(-1) = -6 + 2 -4 = -8.
Calcule as normas:
\|v\| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{4+1+16} = \sqrt{21}.
\|w\| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+4+1} = \sqrt{14}.
Então
\cos\theta = \frac{-8}{\sqrt{21}\,\sqrt{14}} = \frac{-8}{\sqrt{294}}.
Para obter \theta em graus, calculamos \theta = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-8}{\sqrt{294}}\right) e em seguida convertemos de radianos para graus se necessário (multiplicando por 180/\pi). Agora faço a aproximação numérica com precisão suficiente para a casa decimal final:
Valores aproximados:
\sqrt{21}\approx 4,5825756949,\qquad \sqrt{14}\approx 3,7416573868,
\sqrt{21}\,\sqrt{14}=\sqrt{294}\approx 17,1464281995.
\cos\theta \approx -\dfrac{8}{17{,}1464281995} \approx -0{,}4666\\ (\text{aprox.})
Agora \theta \approx \operatorname{arccos}(-0{,}4666). Observação útil: \operatorname{arccos}(-a)=180^\circ-\operatorname{arccos}(a). Primeiro calculei \operatorname{arccos}(0{,}4666)\approx 62{,}15^\circ, logo
\theta \approx 180^\circ - 62{,}15^\circ = 117{,}85^\circ.
Arredondando para uma casa decimal:
\theta \approx 117{,}8^\circ.

Passo 3

(b) Para verificar se v e w são linearmente independentes com dois vetores em \mathbb{R}^3: eles são linearmente dependentes somente se um for múltiplo escalar do outro, isto é, se existir \lambda\in\mathbb{R} tal que v=\lambda w.
Procuramos \lambda tal que (-2,1,4)=\lambda(3,2,-1). Compare componentes:
-2 = 3\lambda \Rightarrow \lambda = -\dfrac{2}{3}.
Da segunda componente:
1 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = \dfrac{1}{2}.
Os dois valores de \lambda são diferentes ( -2/3\neq 1/2), então não existe um único \lambda que satisfaça todas as componentes. Portanto v não é múltiplo de w, isto é, v e w são linearmente independentes.

Passo 4

(c) Pergunta se u=(1,1,2)\) pertence ao subespaço gerado por \(v\) e \(w\) significa: existem escalares \(\alpha,\beta\) tais que \[\alpha v + \beta w = u.
Escrevo o sistema de componentes (usando v=(-2,1,4) e w=(3,2,-1)):
\begin{cases} -2\alpha + 3\beta = 1,\\[4pt] \alpha + 2\beta = 1,\\[4pt] 4\alpha - \beta = 2. \end{cases}
Vou resolver as duas primeiras equações e checar a terceira (método ágil e seguro para ver consistência).
Da segunda equação:
\alpha = 1 - 2\beta.
Substituo na primeira:
-2(1-2\beta) + 3\beta = 1 \Rightarrow -2 +4\beta +3\beta = 1 \Rightarrow 7\beta = 3 \Rightarrow \beta = \dfrac{3}{7}.
Então
\alpha = 1 - 2\cdot \dfrac{3}{7} = 1 - \dfrac{6}{7} = \dfrac{1}{7}.
Agora verifico a terceira equação com esses \alpha,\beta\]: \[4\alpha - \beta = 4\cdot \dfrac{1}{7} - \dfrac{3}{7} = \dfrac{4-3}{7} = \dfrac{1}{7}.\] Mas a terceira equação exige \(4\alpha - \beta = 2. Temos \dfrac{1}{7}\neq 2, logo o sistema é inconsistente: não existem \alpha,\beta que satisfaçam as três equações simultaneamente.
Conclusão: u não pertence ao subespaço gerado por v e w.]

Passo 5

(d) Pedem x,y tais que v=x+y, y\perp w e x\parallel w. Isso é exatamente a decomposição de v em uma componente paralela a w e uma componente ortogonal a w. O procedimento padrão é:
  • x é a projeção de v sobre w:
x = \operatorname{proj}_{w} v = \frac{v\cdot w}{w\cdot w}\, w.
  • y = v - x (essa diferença é ortogonal a w).
Calcule w\cdot w e v\cdot w (já calculei v\cdot w=-8 antes):
w\cdot w = 3^2 + 2^2 + (-1)^2 = 9+4+1 = 14.
\frac{v\cdot w}{w\cdot w} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}.
Portanto
x = -\frac{4}{7}w = -\frac{4}{7}(3,2,-1) = \left(-\frac{12}{7}, -\frac{8}{7}, \frac{4}{7}\right).
Agora
y = v - x = (-2,1,4) - \left(-\frac{12}{7}, -\frac{8}{7}, \frac{4}{7}\right).
Calcule componente a componente:
y_1 = -2 + \frac{12}{7} = -\frac{14}{7} + \frac{12}{7} = -\frac{2}{7},
y_2 = 1 + \frac{8}{7} = \frac{7}{7} + \frac{8}{7} = \frac{15}{7},
y_3 = 4 - \frac{4}{7} = \frac{28}{7} - \frac{4}{7} = \frac{24}{7}.
Logo
y = \left(-\frac{2}{7},\,\frac{15}{7},\,\frac{24}{7}\right).
Verificação rápida (para ficar tranquilo): y\cdot w =
\left(-\frac{2}{7}\right)3 + \left(\frac{15}{7}\right)2 + \left(\frac{24}{7}\right)(-1) = \frac{-6+30-24}{7} = 0,
portanto y\perp w como desejado. E x é múltiplo de w, logo x\parallel w. E claramente x+y=v pela construção.

Passo 6

(e) Ângulo entre x e y. Observação chave: como construímos x como a projeção de v sobre w e y=v-x com y\perp w, então y é perpendicular a w. Como x é paralelo a w, temos que x é paralelo a w e y é perpendicular a w. Portanto x é perpendicular a y. Em termos do produto escalar,
x\cdot y = 0.
Logo o ângulo entre x e y satisfaz \cos\varphi = 0, ou seja \varphi = 90^\circ.
Em notação com uma casa decimal:
\varphi = 90{,}0^\circ.

Resposta

(a) 117{,}8^\circ
(b) v e w são linearmente independentes.
(c) u não pertence ao subespaço gerado por v e w.
(d) x=\left(-\dfrac{12}{7},-\dfrac{8}{7},\dfrac{4}{7}\right),\; y=\left(-\dfrac{2}{7},\dfrac{15}{7},\dfrac{24}{7}\right).
(e) 90{,}0^\circ.

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