Considere os vetores de u, v, w \in \mathbb{R}^{2} dados por u=(7,-3), v=(8,-7), t=(-3,7) e w=(4,10). A alternativa INCORRETA é:
A) O vetor r=u+v+w é r=(24,-20)
B) Os vetores (u+t) e (u-t) são ortogonais.
C) Os vetores u e t são ortogonais.
D) 0 vetor s=u-v+7 w é s=(27,74).
E) O vetor (u-t) é paralelo ao vetor p=(1,-1).

Passo 1

O enunciado fornece os vetores em \mathbb{R}^2:
u=(7,-3),\quad v=(8,-7),\quad t=(-3,7),\quad w=(4,10)
e pede para identificar a única alternativa INCORRETA entre:
A) r=u+v+w=(24,-20)
B) (u+t)\perp(u-t)
C) u\perp t
D) s=u-v+7w=(27,74)
E) u-t é paralelo a p=(1,-1)
O conteúdo que vamos usar envolve soma de vetores, produto escalar (para ortogonalidade) e teste de paralelismo (checando se um vetor é múltiplo escalar de outro).

Passo 2

Calcular r=u+v+w.
u+v+w=(7,-3)+(8,-7)+(4,10)=(7+8+4,\;-3-7+10)=(19,0).
Como a alternativa A afirma r=(24,-20), ela está incorreta.

Passo 3

Verificar ortogonalidade em B:
u+t=(7,-3)+(-3,7)=(4,4), \qquad u-t=(7,-3)-(-3,7)=(10,-10).
Produto escalar:
(4,4)\cdot(10,-10)=4\cdot10+4\cdot(-10)=40-40=0,
logo (u+t)\perp(u-t). B é verdadeira.

Passo 4

Verificar ortogonalidade em C:
u\cdot t=(7,-3)\cdot(-3,7)=7\cdot(-3)+(-3)\cdot7=-21-21=-42\neq0,
logo u e t não são ortogonais. A afirmação C é falsa.

Passo 5

Calcular s=u-v+7w:
u-v=(7,-3)-(8,-7)=(-1,4), \qquad 7w=7\,(4,10)=(28,70),
s=(-1,4)+(28,70)=(27,74),
portanto D é verdadeira.

Passo 6

Verificar paralelismo em E:
u-t=(7,-3)-(-3,7)=(10,-10).
Como (10,-10)=10\,(1,-1), o vetor u-t é paralelo a p=(1,-1). E é verdadeira.

Resposta

As alternativas incorretas são A e C, mas como só poderia haver uma, destacamos que a soma em A está errada. Portanto, a alternativa INCORRETA é
C) Os vetores u e t são ortogonais.

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