Questão 7

Conteúdo de suporte para a questão
Considere o seguinte enunciado para responder às questões de 6 a 7 .
Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 3 \\\\ 2 & 3 & -1 \\\\ 9 & 2 & 0\end{array}\right] e as matrizes B=\left[\begin{array}{c}-3 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right] e X=\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right].
Considere o sistema linear A X=B. Resolva o sistema, se for possível. (Coloque todos os detalhes dos cálculos realizados.)
Resposta enviada:
Expectativa de Resposta:
A matriz ampliada do sistema é: \left[\begin{array}{cccc}3 & -1 & 3 & -3 \\\\ 2 & 3 & -1 & 2 \\\\ 9 & 2 & 0 & 3\end{array}\right]. Assim, x=\frac{-1}{12}, \mathrm{y}=0 e z=\frac{-2}{12}.
Observações da correção:
Resolução da questão 6

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear A X = B pela eliminação de Gauss, onde
A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 3\\\\ 2 & 3 & -1\\\\ 9 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}-3\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}, \quad X=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Vamos montar a matriz aumentada e zerar elementos abaixo dos pivôs.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada \bigl[A\mid B\bigr]:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 3 & -3\\\\ 2 & 3 & -1 & 2\\\\ 9 & 2 & 0 & 3 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo de a_{11}=3:
  • R_2\leftarrow R_2 - \tfrac{2}{3}R_1
R_2=(2,3,-1\mid2)-\tfrac{2}{3}(3,-1,3\mid -3) =(0,\tfrac{11}{3},-3\mid4).
  • R_3\leftarrow R_3 - 3R_1
R_3=(9,2,0\mid3)-3(3,-1,3\mid -3) =(0,5,-9\mid12).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 3 & -3\\\\ 0 & \tfrac{11}{3} & -3 & 4\\\\ 0 & 5 & -9 & 12 \end{array}\right].

Passo 4

Eliminamos a entrada abaixo de a_{22}=\tfrac{11}{3}:
R_3\leftarrow R_3 - \frac{5}{11/3}\,R_2 =R_3 - \tfrac{15}{11}R_2 =(0,0,-\tfrac{54}{11}\mid\tfrac{72}{11}).
Dividindo a linha 3 por -54/11 obtemos o pivô 1:
R_3\equiv(0,0,1\mid -\tfrac{4}{3}).

Passo 5

Fazemos retro-substituição:
  1. Da linha 3: \;z=-\tfrac{4}{3}.
  2. Da linha 2:
\tfrac{11}{3}y - 3z = 4 \;\Longrightarrow\; y = \frac{4+3z}{11/3} =\frac{4+3(-4/3)}{11/3} =0.
  1. Da linha 1:
3x - y + 3z = -3 \;\Longrightarrow\; 3x +3z = -3 \;\Longrightarrow\; x = \frac{-3-3z}{3} = -1 - z = -1 -\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) = \tfrac{1}{3}.

Resposta

x = \tfrac{1}{3},\; y = 0,\; z = -\tfrac{4}{3}.

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