Questão 3

Sendo \|u\|=4,\|v\|=3 e \theta=60^{\circ} o ângulo entre os vetores u e v. A afirmativa INCORRETA é:
A) \|4 u-v\|=\sqrt{217,00}
B) \|u \times v\|=10,39
C) \langle u, v\rangle=6,00
D) O volume do tetraedro determinado pelos vetores por u, v e w, onde w=u \times v, é igual a V=17,99.
E) \|4 u-v\|^{2}=(19)^{2}

Passo 1

O enunciado dá dois vetores \mathbf u e \mathbf v tais que
\|\mathbf u\| = 4,\quad \|\mathbf v\| = 3,\quad \theta = 60^\circ
é o ângulo entre eles. Precisamos usar produto interno, produto vetorial, norma de combinação linear e triplo produto para verificar qual das afirmações A–E é incorreta.

Passo 2

Calculamos o produto interno
\langle \mathbf u,\mathbf v\rangle = \|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\|\cos\theta = 4\cdot 3\cdot \cos 60^\circ = 12\cdot \tfrac12 = 6.
Logo a opção C, que afirma \langle u,v\rangle=6,00, está correta.

Passo 3

Calculamos a norma do produto vetorial
\|\mathbf u\times\mathbf v\| = \|\mathbf u\|\;\|\mathbf v\|\;\sin\theta = 4\cdot 3\cdot \sin 60^\circ = 12\cdot \tfrac{\sqrt3}{2} = 6\sqrt3\approx 10,3923.
A opção B 10,39 está correta.

Passo 4

Para \|\!4\mathbf u-\mathbf v\|, usamos
\|4\mathbf u-\mathbf v\|^2 = \|4\mathbf u\|^2 + \|\mathbf v\|^2 - 2\langle 4\mathbf u,\mathbf v\rangle.
Sabendo \|4\mathbf u\|=4\|\mathbf u\|=16 e \langle 4\mathbf u,\mathbf v\rangle=4\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle=24, obtemos
\|4\mathbf u-\mathbf v\|^2 = 16^2 + 3^2 - 2\cdot 24 = 256 + 9 - 48 = 217,
ou seja \|4\mathbf u-\mathbf v\| = \sqrt{217}. A opção A \sqrt{217,00} está correta e a E (19)^2=361 está errada.

Passo 5

Para o tetraedro determinado por \mathbf u,\mathbf v,\mathbf w com \mathbf w=\mathbf u\times\mathbf v, primeiro calculamos o volume do paralelepípedo
V_{\rm para} = \bigl|\mathbf u\cdot(\mathbf v\times\mathbf w)\bigr|.
Usamos a identidade
\mathbf u\cdot\bigl(\mathbf v\times(\mathbf u\times\mathbf v)\bigr) = \|\mathbf u\|^2\|\mathbf v\|^2 - \langle \mathbf u,\mathbf v\rangle^2 = 16\cdot 9 - 6^2 = 144 - 36 = 108.
Então
V_{\rm tetra} = \frac{V_{\rm para}}{6} = \frac{108}{6} = 18\approx 17,99,
logo a opção D está correta.

Passo 6

Comparando todas:
A está certa, B está certa, C está certa, D está certa e E diz \|4u-v\|^2=(19)^2=361, mas encontramos \|4u-v\|^2=217. Portanto a afirmação incorreta é a opção E.

Resposta

E

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