Questão 4. (Continuidade em um ponto) Seja
f(x)= \begin{cases}x^{2}-1, & x \neq 1 \\\\ 2, & x=1\end{cases}
Sobre a continuidade de f(x) em x=1, podemos afirmar:
a) É contínua em x=1, pois \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1)
b) É descontínua em x=1, pois \lim _{x \rightarrow 1} f(x) \neq f(1)
c) É contínua em todos os pontos de \mathbb{R}
d) É contínua somente em x<1

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2}-1, & x\neq 1,\\\\ 2, & x=1, \end{cases}
e pergunta sobre a continuidade em x=1. O conceito usado é: f é contínua em x=1 se, e somente se, existir
\lim_{x\to1}f(x)
e esse limite for igual a f(1).

Passo 2

Para calcular \lim_{x\to1}f(x), note que, nos pontos diferentes de 1, vale f(x)=x^{2}-1. Assim,
\lim_{x\to1}f(x) =\lim_{x\to1}(x^{2}-1) =1^{2}-1 =0.

Passo 3

Pelo enunciado, f(1)=2. Como
\lim_{x\to1}f(x)=0 \neq 2=f(1),
a condição de continuidade em x=1 falha, ou seja, f é descontínua em x=1.

Resposta

b) É descontínua em x=1, pois \lim_{x\to1}f(x)\neq f(1).

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