Questão 6. (Limites no Infinito) Calcule:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^{3}-2 x}{x^{3}+4}
a) 0
b) -5
c) 5
d) -\infty

Passo 1

O enunciado pede o limite no infinito de uma função racional
\lim_{x\to -\infty}\frac{5x^{3}-2x}{x^{3}+4}.
O conteúdo aqui é “limites no infinito de funções racionais”: quando o grau do numerador e do denominador é o mesmo, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 2

Identificamos que o grau do numerador e do denominador é 3. Então, para calcular o limite, dividimos numerador e denominador por x^{3}, que é a maior potência de x presente.

Passo 3

Fazendo a divisão por x^{3}, obtemos
\frac{5x^{3}-2x}{x^{3}+4} =\frac{x^{3}\bigl(5-2/x^{2}\bigr)}{x^{3}\bigl(1+4/x^{3}\bigr)} =\frac{5-\tfrac{2}{x^{2}}}{1+\tfrac{4}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora observamos o comportamento de cada termo quando x\to -\infty:
\frac{2}{x^{2}}\to 0 \quad\text{e}\quad \frac{4}{x^{3}}\to 0.
Logo,
\lim_{x\to -\infty}\frac{5-\tfrac{2}{x^{2}}}{1+\tfrac{4}{x^{3}}} =\frac{5-0}{1+0} =5.

Resposta

c) 5

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