Questão 2. Converta:
(1357,24)_{8} para a base 10 .

Passo 1

O problema pede: converter o número em base octal (1357,24)_{8} para a base decimal (base 10).
Informações dadas:
  • Parte inteira: os dígitos são 1,3,5,7.
  • Parte fracionária: os dígitos são 2,4.
  • A base é 8 (octal), ou seja os dígitos válidos vão de 0 a 7.
    Nenhuma outra informação é necessária.

Passo 2

Como funciona a representação posicional em uma base b: cada dígito contribui com o dígito multiplicado por uma potência de b. Para um número com parte inteira e fracionária vale a fórmula
\text{valor}_{10}=\sum_{k=0}^{n} d_k b^{k} \;+\; \sum_{m=1}^{p} f_m b^{-m},
onde:
  • d_k são os dígitos da parte inteira (com k=0 para b^{0}, k=1 para b^{1}, etc.);
  • f_m são os dígitos da parte fracionária (com m=1 para b^{-1}, m=2 para b^{-2}, etc.);
  • aqui b=8.
Isso significa que, em base 8, cada posição para a parte inteira vale 8^0,8^1,8^2,\dots e para a parte fracionária vale 8^{-1},8^{-2},\dots.

Passo 3

Primeiro verifico se os dígitos são válidos em base 8. Os dígitos apresentados são 1,3,5,7 na parte inteira e 2,4 na parte fracionária; todos estão no intervalo 0 a 7. Então estão válidos.

Passo 4

Converto a parte inteira (1357)_8 calculando cada termo:
8^0=1,\qquad 8^1=8,\qquad 8^2=64,\qquad 8^3=512.
Agora multiplico por cada dígito:
1\cdot 8^3 = 1\cdot 512 = 512,
3\cdot 8^2 = 3\cdot 64 = 192,
5\cdot 8^1 = 5\cdot 8 = 40,
7\cdot 8^0 = 7\cdot 1 = 7.
Somando estes termos:
512 + 192 + 40 + 7 = 704 + 47 = 751.
Portanto a parte inteira vale 751 em decimal.

Passo 5

Converto a parte fracionária (,24)_8 usando potências negativas de 8:
8^{-1}=\tfrac{1}{8}=0,125,\qquad 8^{-2}=\tfrac{1}{64}=0,015625.
Multiplico pelos dígitos correspondentes:
2\cdot 8^{-1} = 2\cdot \tfrac{1}{8} = \tfrac{2}{8} = \tfrac{1}{4} = 0,25,
4\cdot 8^{-2} = 4\cdot \tfrac{1}{64} = \tfrac{4}{64} = \tfrac{1}{16} = 0,0625.
Somando as duas contribuições da fração:
0,25 + 0,0625 = 0,3125.
Em forma de fração exata, isso é \tfrac{5}{16}, porque 0,3125=\tfrac{5}{16}.

Passo 6

Agora junto parte inteira e fracionária:
751 + 0,3125 = 751,3125.
Também se quiser a forma fracionária exata:
751 + \tfrac{5}{16} = \tfrac{12021}{16}.

Resposta

(751,3125)_{10}

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