Questão 9
(a) Converta o ponto P(1, \sqrt{3}, 2) de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado dá o ponto em coordenadas cartesianas P(1,\sqrt{3},2) e pede que ele seja convertido para coordenadas cilíndricas.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coordenadas cartesianas: (x,y,z) = (1,\sqrt{3},2).
  • Precisamos encontrar as coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) correspondentes.

Passo 2

O que são coordenadas cilíndricas e as fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Em coordenadas cilíndricas, um ponto é dado por (r,\theta,z), onde:
    • r é a distância do ponto ao eixo z (ou seja, a projeção radial no plano xy);
    • \theta é o ângulo que a projeção do ponto no plano xy faz com o eixo x, medido normalmente em radianos;
    • z é a mesma coordenada z das coordenadas cartesianas.
      As fórmulas de conversão de cartesianas (x,y,z) para cilíndricas (r,\theta,z) são:
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}},
\theta = \operatorname{atan2}(y,x)\quad\text{(ou, quando \(x\neq0\), }\theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)\text{, tomando o quadrante correto)},
e
z = z.
Explicando a parte do ângulo: a função \arctan(y/x) dá o ângulo cuja tangente é y/x, mas só determina corretamente o quadrante se soubermos em qual quadrante (x,y) está. A forma \operatorname{atan2}(y,x) já lida com isso automaticamente. Também observe que \theta não é única: \theta e \theta+2k\pi representam o mesmo raio-direção.

Passo 3

Calcular r passo a passo:
Começamos pelas coordenadas x=1 e y=\sqrt{3}. Usando a fórmula,
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Substituindo os valores:
r=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}.
Desenvolvendo:
r=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Portanto r=2. (Interpretação geométrica rápida: no plano xy o ponto (1,\sqrt{3}) está a distância 2 da origem.)

Passo 4

Determinar \theta com cuidado quanto ao quadrante:
Calculamos a razão \dfrac{y}{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}. Então
\theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan(\sqrt{3}).
Sabemos que \tan\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}. Assim
\arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}.
Agora, precisamos checar o quadrante: temos x=1>0 e y=\sqrt{3}>0, ou seja, o ponto está no primeiro quadrante; portanto o valor \theta=\dfrac{\pi}{3} é o correto (não precisamos adicionar \pi ou ajustar o sinal). Lembrete: poderíamos também usar \theta=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi para qualquer inteiro k, mas a escolha padrão é o valor principal \dfrac{\pi}{3}.

Passo 5

Adotar a coordenada z:
Em coordenadas cilíndricas, a coordenada z é igual à coordenada z cartesiana. Aqui z=2, então mantemos z=2.

Passo 6

Juntando tudo:
  • Encontramos r=2.
  • Encontramos \theta=\dfrac{\pi}{3} (valor principal, primeiro quadrante).
  • Mantivemos z=2.
    Portanto a representação cilíndrica do ponto é (r,\theta,z)=(2,\tfrac{\pi}{3},2).

Resposta

(2,\tfrac{\pi}{3},2)

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