Questão 9
(a) Converta o ponto
de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas.
(a) Converta o ponto
Passo 1
O enunciado dá o ponto em coordenadas cartesianas
e pede que ele seja convertido para coordenadas cilíndricas.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Coordenadas cartesianas:
. - Precisamos encontrar as coordenadas cilíndricas
correspondentes.
Passo 2
O que são coordenadas cilíndricas e as fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Em coordenadas cilíndricas, um ponto é dado por
, onde: -
é a distância do ponto ao eixo (ou seja, a projeção radial no plano ); -
é o ângulo que a projeção do ponto no plano faz com o eixo , medido normalmente em radianos; -
é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
As fórmulas de conversão de cartesianaspara cilíndricas são:
-
e
Explicando a parte do ângulo: a função
dá o ângulo cuja tangente é
, mas só determina corretamente o quadrante se soubermos em qual quadrante
está. A forma
já lida com isso automaticamente. Também observe que
não é única:
e
representam o mesmo raio-direção.
Passo 3
Calcular
passo a passo:
Começamos pelas coordenadas e
. Usando a fórmula,
Começamos pelas coordenadas
Substituindo os valores:
Desenvolvendo:
Portanto
. (Interpretação geométrica rápida: no plano
o ponto
está a distância
da origem.)
Passo 4
Determinar
com cuidado quanto ao quadrante:
Calculamos a razão . Então
Calculamos a razão
Sabemos que
. Assim
Agora, precisamos checar o quadrante: temos
e
, ou seja, o ponto está no primeiro quadrante; portanto o valor
é o correto (não precisamos adicionar
ou ajustar o sinal). Lembrete: poderíamos também usar
para qualquer inteiro
, mas a escolha padrão é o valor principal
.
Passo 5
Adotar a coordenada
:
Em coordenadas cilíndricas, a coordenada é igual à coordenada
cartesiana. Aqui
, então mantemos
.
Em coordenadas cilíndricas, a coordenada
Passo 6
Juntando tudo:
- Encontramos
. - Encontramos
(valor principal, primeiro quadrante). - Mantivemos
.
Portanto a representação cilíndrica do ponto é.