Questão 4. Sabendo que \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\overrightarrow{0},|\vec{u}|=\frac{3}{2}, |\vec{v}|=\frac{1}{2} e |\vec{w}|=2, calcule \vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um valor concreto.
  • Dados:
    \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\overrightarrow{0}.
    |\vec{u}|=\dfrac{3}{2}.
    |\vec{v}|=\dfrac{1}{2}.
    |\vec{w}|=2.
  • Pedido:
    Calcular \vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{w}\cdot\vec{u}.

Passo 2

Vamos usar uma identidade simples e poderosa: o quadrado da norma de uma soma de vetores. Lembre que a norma ao quadrado de um vetor é o produto escalar do vetor por ele mesmo, isto é, para qualquer vetor \vec{a} temos \|\vec{a}\|^2=\vec{a}\cdot\vec{a}. Como \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\overrightarrow{0}, sua norma é zero, portanto
0=\|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\|^2.
Agora expandimos o produto escalar da soma:
\|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\|^2=(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})\cdot(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}).
Ao distribuir o produto escalar (como você distribuiria um produto de soma em álgebra), obtemos a identidade
\|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\|^2=\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2+\|\vec{w}\|^2+2\big(\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{w}\cdot\vec{u}\big).
Expliquei isso passo a passo porque é uma conta que cai direto na prova: cada termo cruzado aparece duas vezes ao expandir.

Passo 3

Como a norma do lado esquerdo é zero, substituímos e isolamos a soma dos produtos escalares desejada:
0=\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2+\|\vec{w}\|^2+2\big(\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{w}\cdot\vec{u}\big).
Resolvendo para o que queremos:
\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{w}\cdot\vec{u}=-\dfrac{1}{2}\big(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2+\|\vec{w}\|^2\big).
Isso já reduz o problema a calcular as normas ao quadrado (que você conhece pelos módulos dados).

Passo 4

Calculamos as normas ao quadrado usando os módulos fornecidos:
\|\vec{u}\|^2=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}, \qquad \|\vec{v}\|^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}, \qquad \|\vec{w}\|^2=2^2=4.
Somando:
\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2+\|\vec{w}\|^2=\dfrac{9}{4}+\dfrac{1}{4}+4=\dfrac{10}{4}+4=\dfrac{5}{2}+4=\dfrac{13}{2}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do Passo 3:
\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{w}\cdot\vec{u}=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{13}{2}=-\dfrac{13}{4}.
Prontinho — resultado numérico simples, sem precisar escolher ângulos ou coordenadas.

Resposta

-\dfrac{13}{4}

Exercícios relacionados