Questão 4. Sabendo que
,
e
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um valor concreto.
-
Dados:
.
.
.
. -
Pedido:
Calcular.
Passo 2
Vamos usar uma identidade simples e poderosa: o quadrado da norma de uma soma de vetores. Lembre que a norma ao quadrado de um vetor é o produto escalar do vetor por ele mesmo, isto é, para qualquer vetor
temos
. Como
, sua norma é zero, portanto
Agora expandimos o produto escalar da soma:
Ao distribuir o produto escalar (como você distribuiria um produto de soma em álgebra), obtemos a identidade
Expliquei isso passo a passo porque é uma conta que cai direto na prova: cada termo cruzado aparece duas vezes ao expandir.
Passo 3
Como a norma do lado esquerdo é zero, substituímos e isolamos a soma dos produtos escalares desejada:
Resolvendo para o que queremos:
Isso já reduz o problema a calcular as normas ao quadrado (que você conhece pelos módulos dados).
Passo 4
Calculamos as normas ao quadrado usando os módulos fornecidos:
Somando:
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do Passo 3:
Prontinho — resultado numérico simples, sem precisar escolher ângulos ou coordenadas.