Questão 7) Uma corda uniforme, de 30 m de comprimento e massa 3kg, está esticada sob uma tensão de 60N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, em um percurso de 8 cm do ponto mais baixo ao mais alto da oscilação, realizando 1,5 oscilações por segundo e estabelecendo assim uma onda harmônica. Em t=0 a extremidade da corda encontra-se em sua posição mais alta. (a) Escreva, como função do tempo e do espaço, o deslocamento transversal y(x, t) de um ponto da corda (equação da onda) substituindo os valores dos parâmetros constantes. (b) Qual é a velocidade de propagação da onda. (c) Qual a velocidade transversal da corda em x=3 m e t=0,2 s ?

Passo 1

O enunciado trata de uma corda uniforme de comprimento L=30,m e massa m=3,kg, sob tensão T=60,N, oscilando transversalmente com amplitude (pico a pico) de 8,cm e frequência f=1,5,Hz. Pede-se:
(a) a equação da onda y(x,t) com todos os parâmetros preenchidos;
(b) a velocidade de propagação da onda;
(c) a velocidade transversal partial y/partial t em x=3,m e t=0,2,s.

Passo 2

Calcular a densidade linear mu e a velocidade de onda v:
mu = mL = 330 = 0,1 kg/m,
v = raizTmu = raiz600,1 = raiz600 approx 24,5 m/s

Passo 3

Determinar omega, lambda e o número de onda k:
omega = 2pi f = 2pi times 1,5 = 3pi rad/s,
lambda = vf = 24,51,5 approx 16,33 m,
k = 2pilambda = omegav = 3pi24,5 approx 0,385 rad/m

Passo 4

Montar y(x,t). A amplitude é A = tfrac8,cm2 = 4,cm =0,04,m. Em t=0 e x=0 temos y(0,0)=+A, portanto a forma conveniente é
y(x,t) = A cosl(omega t - kxr) = 0,04 ,cosl(3pi,t - 0,385,xr) (com x em m e t em s)

Passo 5

A velocidade de propagação já foi obtida no passo 2:
v approx 24,5 m/s

Passo 6

A velocidade transversal é partial y/partial t:
partial ypartial t = -A,omega,sinl(omega t - kxr) = -0,04times 3pi;sinl(3pi,t - 0,385,xr)
Em x=3,m e t=0,2,s o argumento vale
3pi,(0,2)-0,385times 3 =0,6pi -1,155approx0,731 rad,
sin(0,731)approx0,667 Longrightarrow partial ypartial tapprox -0,04cdot 3picdot0,667 approx -0,25 m/s

Resposta

(a) y(x,t)=0,04cosl(3pi,t-0,385,xr) (SI).
(b) vapprox24,5 m/s
(c) partial ypartial t|x=3,t=0,2approx -0,25 m/s

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