Exercício 18 Mostre que
é solução da equação diferencial
. Esta é a solução geral da equação do oscilador forçado, mas não amortecido.
obs.: a primeira parcela de
é a solução geral da equação homogênea associada à equação diferencial acima, isto é, associada a
. A segunda parcela e a solução particular da equação (não-homogênea) acima.
obs.: a primeira parcela de
Passo 1
O enunciado dá a equação do oscilador forçado não amortecido
e propõe como solução geral
Para mostrar que isso funciona, vamos calcular
, somar
e verificar se obtemos
.
Passo 2
Calculando a primeira derivada de
:
Derivando de novo para obter
:
Passo 3
Agora formamos
:
As parcelas com
se cancelam, restando só os termos em
:
Passo 4
Simplificando o fator
no numerador e denominador, obtemos
que é exatamente o lado direito da equação original. Portanto o
dado satisfaz a equação diferencial.
Resposta
Verificou-se que
logo
é de fato a solução geral da equação do oscilador forçado sem amortecimento.