Exercício 18 Mostre que
x(t)=A cos (omega0 t+phi)+F0m(omega0^2-omega^2) cos (omega t)
é solução da equação diferencial ddotx+omega0^2 x=F0m cos (omega t). Esta é a solução geral da equação do oscilador forçado, mas não amortecido.
obs.: a primeira parcela de x(t) é a solução geral da equação homogênea associada à equação diferencial acima, isto é, associada a ddotx+omega0^2 x=0. A segunda parcela e a solução particular da equação (não-homogênea) acima.

Passo 1

O enunciado dá a equação do oscilador forçado não amortecido
ddotx+omega0^2x = F0mcos(omega t)
e propõe como solução geral
x(t)=Acosl(omega0t+phir)+F0ml(omega0^2-omega^2r)cos(omega t)
Para mostrar que isso funciona, vamos calcular ddotx, somar omega0^2x e verificar se obtemos tfracF0mcos(omega t).

Passo 2

Calculando a primeira derivada de x(t):
x'(t) = -A,omega0sinl(omega0t+phir) - F0ml(omega0^2-omega^2r),omegasin(omega t)
Derivando de novo para obter ddotx(t):
ddotx(t) = -A,omega0^2cosl(omega0t+phir) - F0ml(omega0^2-omega^2r),omega^2cos(omega t)

Passo 3

Agora formamos ddotx + omega0^2x:
ddotx+omega0^2x = l[-A,omega0^2cos(omega0t+phi)r] + omega0^2l[Acos(omega0t+phi)r]
+ l[-tfracF0m(omega0^2-omega^2),omega^2cos(omega t)r] + omega0^2l[tfracF0m(omega0^2-omega^2)cos(omega t)r]
As parcelas com A se cancelam, restando só os termos em cos(omega t):
ddotx+omega0^2x = F0m(omega0^2-omega^2)l(omega0^2-omega^2r)cos(omega t)

Passo 4

Simplificando o fator omega0^2-omega^2 no numerador e denominador, obtemos
ddotx+omega0^2x = F0mcos(omega t),
que é exatamente o lado direito da equação original. Portanto o x(t) dado satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Verificou-se que
ddotx+omega0^2x = F0mcos(omega t),
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x(t)=Acosl(omega0t+phir) +F0m(omega0^2-omega^2)cos(omega t)
é de fato a solução geral da equação do oscilador forçado sem amortecimento.

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