Questão 6) Uma corda uniforme, de 20 m de comprimento e massa 2 kg , está esticada sob uma tensão de 10N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm realizando 5 oscilações por segundo e estabelecendo assim uma onda harmônica. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para cima. (a) Ache a velocidade de propagação e o comprimento de onda progressiva gerada na corda. (b) Escreva, como função do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda à distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade. (c) Por que esta expressão só é válida admitindo que a onda não alcançou a outra extremidade? (d) Quanta energia passa pela corda a cada período de oscilação? (e) Qual é o valor da velocidade transversal de um ponto na corda em x=35 cm e no instante 1,5 s ?

Passo 1

O problema trata de uma onda harmônica progressiva numa corda de comprimento L=20,m e massa m=2,kg, tensionada com T=10,N. A extremidade em x=0 oscila com amplitude A=3,cm e frequência f=5,Hz, e no instante t=0 tem deslocamento inicial para cima de y(0,0)=1,5,cm.
Conteúdo: ondas em corda, velocidade de propagação v=raizT/mu, comprimento de onda lambda=v/f, equação da onda y(x,t)=Asin(kx-omega t+varphi), energia transportada.

Passo 2

Calcular a massa por unidade de comprimento
mu=mL=220=0,1 kg/m
A velocidade de propagação é
v=raizTmu =raiz100,1=raiz100=10 m/s
O comprimento de onda satisfaz lambda=v/f, logo
lambda=105=2 m

Passo 3

A equação da onda que sai de x=0 e vai para +x é
y(x,t)=Asinl(kx-omega t+varphir),
com
k=2pilambda=2pi2=pi rad/m, omega=2pi f=2picdot5=10pi rad/s
No ponto x=0, em t=0, temos
y(0,0)=Asinvarphi=1,5,cm Longrightarrow sinvarphi=1,53=0,5 Longrightarrow varphi=pi6
Logo, para o tempo em que a onda já atingiu x (isto é t>= x/v) e antes de refletir na outra extremidade,
y(x,t)=0,03;sin!l(pi,x-10pi,t+tfracpi6r) l(SIr)

Passo 4

Essa expressão só vale enquanto não houver reflexão na cortante em x=L, pois após a reflexão a forma da onda deixa de ser a simples progressiva dada acima e passa a ser superposição de onda incidente e refletida.

Passo 5

A potência média transportada pela onda é
Prm m =12,mu,v,omega^2,A^2 =tfrac12cdot0,1cdot10,(10pi)^2,(0,03)^2 =0,045,pi^2 Wapprox0,445 W
Em cada período T=1/f=0,2,s, a energia que passa é
Erm per = Prm m,T =0,045,pi^2cdot0,2 =0,009,pi^2 J approx0,089 J

Passo 6

A velocidade transversal é
vy(x,t)=partial ypartial t =-A,omegacos!l(pi x-10pi t+tfracpi6r)
Para x=0,35,m e t=1,5,s,
vy(0,35,1,5) =-0,03cdot10pi;cos!l(picdot0,35-10picdot1,5+tfracpi6r) approx -4,9times10^-2 m/s

Resposta

(a) v=10,m/s, lambda=2,m.
(b) y(x,t)=0,03sinl(pi x-10pi t+tfracpi6r) para t>= x/v e antes de refletir.
(c) Porque após a reflexão em x=L deixa de ser apenas onda progressiva.
(d) Erm perapprox0,089,J por período.
(e) vy(0,35,1,5)approx -4,9times10^-2,m/s.

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