5 )(2.0) Considere dois Amplificadores cuja respostas compreende as seguintes funções:
\begin{aligned} & f(t)=1-(1+t) \cdot e^{-t} \\\ & g(t)=1-\left(1+t+\frac{t^{2}}{2}\right) \cdot e^{-t}, \text { onde } t \text { é o tempo. } \end{aligned}é
A diferença ou erro entre as respostas dos dois amplificadores é dada pela função \boldsymbol{E}(\boldsymbol{t})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{t})-\boldsymbol{g}(\boldsymbol{t}). Determine o instante de tempo no qual esta diferença é máxima.
Utilize o método da BISSEÇÃO com intervalo inicial [\mathbf{1 , 5} ; \mathbf{2 , 2}] e faça 2 iterações. tolerância =\varepsilon=0,0001

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre o instante de tempo em que a diferença entre as respostas de dois amplificadores é máxima. As informações dadas são:
f(t)=1-(1+t)\,e^{-t}
g(t)=1-\left(1+t+\frac{t^{2}}{2}\right)\,e^{-t}
A diferença é definida por \,E(t)=f(t)-g(t). Devemos usar o método da BISSEÇÃO com intervalo inicial [\,1,5;\;2,2\,] (ou seja [1{,}5,\,2{,}2]), fazer 2 iterações e usar tolerância \varepsilon=0{,}0001.
O objetivo prático: localizar a raiz de E'(t) dentro do intervalo dado, pois máximos internos ocorrem onde E'(t)=0.

Passo 2

Primeiro simplifico a função diferença E(t). Substituindo f e g:
E(t)=\bigl[1-(1+t)e^{-t}\bigr]-\bigl[1-\bigl(1+t+\tfrac{t^{2}}{2}\bigr)e^{-t}\bigr]
Agrupando termos:
E(t)=-(1+t)e^{-t}+\bigl(1+t+\tfrac{t^{2}}{2}\bigr)e^{-t}=\frac{t^{2}}{2}\,e^{-t}.
Ou seja,
E(t)=\tfrac{1}{2}\,t^{2}\,e^{-t}.
Explicando: isso significa que a diferença é sempre não negativa e tem fator exponencial que decai; o máximo ocorre num ponto crítico onde a derivada se anula (ou na borda do domínio).

Passo 3

Calculo a derivada E'(t) passo a passo (produto e regra da cadeia). Para \,E(t)=\tfrac{1}{2}t^{2}e^{-t}:
E'(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(2t\,e^{-t}+t^{2}\,(-e^{-t})\bigr)
E'(t)=\tfrac{1}{2}e^{-t}\bigl(2t-t^{2}\bigr)
Fatorando:
E'(t)=\tfrac{1}{2}e^{-t}\,t\,(2-t).
Observações didáticas: \tfrac{1}{2}e^{-t}>0 para todo t. Logo o sinal de E'(t) depende só de h(t)=t(2-t). As raízes verdadeiras de E'(t) são \,t=0 e \,t=2. Como t é tempo (geralmente t\ge0), o máximo interno esperado é \,t=2.
Mas como o enunciado exige o método da bisseção no intervalo dado, aplico o método para localizar a raiz t=2 a partir do intervalo [1{,}5,\,2{,}2]. Para testar sinais é prático usar h(t)=t(2-t), pois omite o fator positivo \tfrac{1}{2}e^{-t}.

Passo 4

Explico o método da bisseção de forma simples: temos uma função contínua h(t)=t(2-t). Se h(a) e h(b) têm sinais opostos, existe uma raiz em [a,b]. Calculamos o ponto médio c, avaliamos h\text{(c)} e escolhemos o subintervalo onde ocorre a troca de sinal. Repetimos. Agora aplico as duas iterações pedidas, com muitos detalhes:
Dados iniciais:
a_0=1{,}5,\quad b_0=2{,}2.
Avalio os sinais com h(t)=t(2-t):
h(a_0)=1{,}5\,(2-1{,}5)=1{,}5\cdot 0{,}5=0{,}75>0.
h(b_0)=2{,}2\,(2-2{,}2)=2{,}2\cdot(-0{,}2)=-0{,}44<0.
Como h(a_0)>0 e h(b_0)<0, existe uma raiz em [1{,}5,\,2{,}2].
Iteração 1:
c_1=\frac{a_0+b_0}{2}=\frac{1{,}5+2{,}2}{2}=1{,}85.
Avalio
h(c_1)=1{,}85\,(2-1{,}85)=1{,}85\cdot 0{,}15=0{,}2775>0.
Como h(c_1)>0 e h(b_0)<0, a raiz está em [c_1,b_0]=[1{,}85,\,2{,}2]. Defino então
a_1=1{,}85,\quad b_1=2{,}2.

Passo 5

Iteração 2:
c_2=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{1{,}85+2{,}2}{2}=2{,}025.
Avalio
h(c_2)=2{,}025\,(2-2{,}025)=2{,}025\cdot(-0{,}025)=-0{,}050625<0.
Agora h(a_1)=h(1{,}85)>0 e h(c_2)<0, portanto a raiz está em [a_1,c_2]=[1{,}85,\,2{,}025]. Após 2 iterações temos o intervalo final
[1{,}85,\;2{,}025]
e a aproximação pela bisseção (ponto médio da última iteração) é c_2=2{,}025.

Passo 6

Interpretação e observação final: analiticamente vimos que a raiz exata é t=2, que corresponde ao ponto de máximo de E(t). A aplicação da bisseção com 2 iterações forneceu a aproximação t\approx 2{,}025 e o intervalo de contenção [1{,}85,\,2{,}025]. A tolerância pedida \varepsilon=0{,}0001 não foi atingida em apenas 2 iterações (a bisseção continuaria até que |b-a|/2<\varepsilon), mas o procedimento e as contas pedidas foram executadas.

Resposta

t \approx 2{,}025

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