5 )(2.0) Considere dois Amplificadores cuja respostas compreende as seguintes funções:
A diferença ou erro entre as respostas dos dois amplificadores é dada pela função
. Determine o instante de tempo no qual esta diferença é máxima.
Utilize o método da BISSEÇÃO com intervalo inicial
e faça 2 iterações. tolerância
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre o instante de tempo em que a diferença entre as respostas de dois amplificadores é máxima. As informações dadas são:
A diferença é definida por
. Devemos usar o método da BISSEÇÃO com intervalo inicial
(ou seja
), fazer 2 iterações e usar tolerância
.
O objetivo prático: localizar a raiz de dentro do intervalo dado, pois máximos internos ocorrem onde
.
O objetivo prático: localizar a raiz de
Passo 2
Primeiro simplifico a função diferença
. Substituindo
e
:
Agrupando termos:
Ou seja,
Explicando: isso significa que a diferença é sempre não negativa e tem fator exponencial que decai; o máximo ocorre num ponto crítico onde a derivada se anula (ou na borda do domínio).
Passo 3
Calculo a derivada
passo a passo (produto e regra da cadeia). Para
:
Fatorando:
Observações didáticas:
para todo
. Logo o sinal de
depende só de
. As raízes verdadeiras de
são
e
. Como
é tempo (geralmente
), o máximo interno esperado é
.
Mas como o enunciado exige o método da bisseção no intervalo dado, aplico o método para localizar a raiz a partir do intervalo
. Para testar sinais é prático usar
, pois omite o fator positivo
.
Mas como o enunciado exige o método da bisseção no intervalo dado, aplico o método para localizar a raiz
Passo 4
Explico o método da bisseção de forma simples: temos uma função contínua
. Se
e
têm sinais opostos, existe uma raiz em
. Calculamos o ponto médio
, avaliamos
e escolhemos o subintervalo onde ocorre a troca de sinal. Repetimos. Agora aplico as duas iterações pedidas, com muitos detalhes:
Dados iniciais:
Avalio os sinais com
:
Como
e
, existe uma raiz em
.
Iteração 1:
Avalio
Como
e
, a raiz está em
. Defino então
Passo 5
Iteração 2:
Avalio
Agora
e
, portanto a raiz está em
. Após 2 iterações temos o intervalo final
e a aproximação pela bisseção (ponto médio da última iteração) é
.
Passo 6
Interpretação e observação final: analiticamente vimos que a raiz exata é
, que corresponde ao ponto de máximo de
. A aplicação da bisseção com 2 iterações forneceu a aproximação
e o intervalo de contenção
. A tolerância pedida
não foi atingida em apenas 2 iterações (a bisseção continuaria até que
), mas o procedimento e as contas pedidas foram executadas.