Questão 2: Corrente Induzida por um Raio
Um raio atinge a areia da praia a uma distância horizontal de
de um nadador. Considere que o raio injeta uma corrente instantânea de
no solo. A resistividade da areia molhada é
. O corpo do nadador, em contato com a areia, pode ser modelado como um cilindro de altura
e raio
, com resistência interna desprezivel.
a) Admitindo que a corrente se espalha uniformemente no solo (semiesfera), calcule o campo elétrico E na posiçào do nadador em função da distância d.
b) Utilizando a Lei de Ohm microscópica J
, estime a corrente total (
) que passa através do corpo do nadador. Considere as duas situaçŏes: nadador em pé e nadador deitado.
a) Admitindo que a corrente se espalha uniformemente no solo (semiesfera), calcule o campo elétrico E na posiçào do nadador em função da distância d.
b) Utilizando a Lei de Ohm microscópica J
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular o campo elétrico
na posição do nadador em função da distância do ponto onde o raio atinge o solo, sabendo que a corrente instantânea injetada no solo é e que a corrente se espalha uniformemente no solo em semiesfera. Dados fornecidos:
- (b) Usando a lei microscópica de Ohm
(com ), estimar a corrente total que passa pelo corpo do nadador modelado como um cilindro de altura e raio , para duas situações: nadador em pé e nadador deitado. O enunciado também diz que a resistência interna do corpo é desprezível.
Resumo das quantidades relevantes:
Passo 2
Como a corrente se espalha uniformemente numa semiesfera em torno do ponto de entrada no solo, vamos encontrar a densidade de corrente
a uma distância radial
do ponto de impacto. Conceito usado: a corrente total que atravessa uma superfície fechada que envolve a entrada é
; se essa superfície for uma semiesfera de raio
, sua área é
A densidade de corrente média (módulo) sobre essa superfície é corrente dividido por área, logo
Explicação didática: imagine uma casca semiesférica ao redor do ponto onde o raio entra; toda a corrente que saiu do ponto atravessa essa casca. Se a casca tem área
, a corrente por unidade de área é
.
Passo 3
Relação entre
e
: a lei microscópica de Ohm diz
onde
é a condutividade elétrica do meio; ela se relaciona com a resistividade
por
Tomando módulos e usando
do passo anterior, obtemos o campo elétrico radial em módulo:
Substituindo
vem
Isto responde (a): o campo elétrico na posição do nadador a distância
do raio é
. Observação prática: o campo aponta radialmente para fora do ponto de impacto.
Passo 4
Vamos avaliar numericamente
no caso
. Substituindo os números:
O denominador é
. Então
Explicação: os passos são aritmética básica de substituição na fórmula obtida no passo anterior.
Passo 5
Agora parte (b): queremos a corrente que entra no corpo do nadador. Conceito: a corrente total que entra no corpo é o fluxo da densidade de corrente
através da área de contato do corpo com o solo:
Para avaliar essa integral precisamos modelar a área de contato. Observação e aproximação útil: como
e
são muito menores que
(compare
e
), a variação de
sobre a pequena área do corpo é pequena. Então podemos aproximar
como constante igual a
sobre a área de contato e escrever
Essa aproximação facilita muito a conta e é apropriada no contexto de prova (razão: corpo pequeno comparado à distância).
Passo 6
Caso 1 — nadador em pé (vertical):
- Modelo de contato: apenas a base do cilindro toca o solo; área de contato é a área do círculo da base:
- Usando
,
Agora substituímos numericamente:
Portanto
Interpretação: em pé, apenas uma fração pequena da corrente total entra pelo corpo, pela pequena área de contato.
Passo 7
Caso 2 — nadador deitado (horizontal):
- Modelo de contato: o corpo deitado tem muita área em contato; uma boa aproximação simples é tratar a área de contato como um retângulo de comprimento
(comprimento do corpo) e largura igual ao diâmetro (aproximação da área plana de contato). Assim
(Outra aproximação possível seria usar parte da superfície lateral do cilindro; a ordem de grandeza será similar. Escolhi
por ser simples e intuitivo.)
- Usando a mesma aproximção
constante:
Substituindo numeros:
Logo
Interpretação: deitado a área de contato é muito maior, logo a corrente que atravessa o corpo aumenta — aqui para alguns ampères, que já são correntes perigosas para pessoas.
Passo 8
Resumo físico curto (motivacional): as aproximações feitas (campo quase constante sobre a área do corpo) são válidas porque o corpo é pequeno comparado a
. Os valores obtidos dão a ordem de grandeza correta: corrente menor em pé (frações de ampère) e maior deitado (alguns ampères). Isso explica por que permanecer deitado aumenta a probabilidade de corrente maior entrando pelo corpo — uma observação útil para segurança.
Resposta
(a)
. Para
:
(b) Nadador em pé:
(b) Nadador deitado: