Questão 2: Corrente Induzida por um Raio

Um raio atinge a areia da praia a uma distância horizontal de \mathrm{d}=30 \mathrm{~m} de um nadador. Considere que o raio injeta uma corrente instantânea de \mathrm{l}_{0}=20 \mathrm{kA} no solo. A resistividade da areia molhada é \rho=2.0 \Omega \cdot \mathrm{~m}. O corpo do nadador, em contato com a areia, pode ser modelado como um cilindro de altura \mathrm{h}=1.7 \mathrm{~m} e raio \mathrm{a}=0.2 \mathrm{~m}, com resistência interna desprezivel.
a) Admitindo que a corrente se espalha uniformemente no solo (semiesfera), calcule o campo elétrico E na posiçào do nadador em função da distância d.
b) Utilizando a Lei de Ohm microscópica J =\sigma \mathrm{E}, estime a corrente total ( \mathrm{I}_{\text {copo }} ) que passa através do corpo do nadador. Considere as duas situaçŏes: nadador em pé e nadador deitado.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Calcular o campo elétrico E na posição do nadador em função da distância d do ponto onde o raio atinge o solo, sabendo que a corrente instantânea injetada no solo é I_0=20\,\mathrm{kA} e que a corrente se espalha uniformemente no solo em semiesfera. Dados fornecidos:
I_0=20{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{A},\quad \rho=2{,}0\\ \Omega\cdot\mathrm{m},\quad d=30\\ \mathrm{m}\\ (\text{caso numérico})é
  1. (b) Usando a lei microscópica de Ohm \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E} (com \sigma=1/\rho), estimar a corrente total I_{\text{corpo}} que passa pelo corpo do nadador modelado como um cilindro de altura h=1{,}7\\ \mathrm{m} e raio a=0{,}2\\ \mathrm{m}, para duas situações: nadador em pé e nadador deitado. O enunciado também diz que a resistência interna do corpo é desprezível.
Resumo das quantidades relevantes:
h=1{,}7\\ \mathrm{m},\quad a=0{,}2\\ \mathrm{m},\quad \rho=2{,}0\\ \Omega\cdot\mathrm{m},\quad I_0=20{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{A}.

Passo 2

Como a corrente se espalha uniformemente numa semiesfera em torno do ponto de entrada no solo, vamos encontrar a densidade de corrente J(r) a uma distância radial r do ponto de impacto. Conceito usado: a corrente total que atravessa uma superfície fechada que envolve a entrada é I_0; se essa superfície for uma semiesfera de raio r, sua área é
\text{Área da semiesfera} = 2\pi r^2.Á
A densidade de corrente média (módulo) sobre essa superfície é corrente dividido por área, logo
\boxed{J(r)=\dfrac{I_0}{2\pi r^2}.}
Explicação didática: imagine uma casca semiesférica ao redor do ponto onde o raio entra; toda a corrente que saiu do ponto atravessa essa casca. Se a casca tem área 2\pi r^2, a corrente por unidade de área é I_0/(2\pi r^2).

Passo 3

Relação entre J e E: a lei microscópica de Ohm diz
\boxed{\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}},
onde \sigma é a condutividade elétrica do meio; ela se relaciona com a resistividade \rho por
\boxed{\sigma=\dfrac{1}{\rho}}.
Tomando módulos e usando J(r) do passo anterior, obtemos o campo elétrico radial em módulo:
E(r)=\dfrac{J(r)}{\sigma}=\dfrac{J(r)}{1/\rho}=\rho\,J(r).
Substituindo J(r)=I_0/(2\pi r^2) vem
\boxed{E(r)=\dfrac{\rho\,I_0}{2\pi r^2}.}
Isto responde (a): o campo elétrico na posição do nadador a distância d do raio é E(d)=\rho I_0/(2\pi d^2). Observação prática: o campo aponta radialmente para fora do ponto de impacto.

Passo 4

Vamos avaliar numericamente E no caso d=30\\ \mathrm{m}. Substituindo os números:
\rho I_0 = 2{,}0\\ \Omega\cdot\mathrm{m}\times 20{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{A}=4{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{V}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{m}.
O denominador é 2\pi d^2 = 2\pi(30)^2 = 2\pi\cdot900=1800\pi. Então
E(30)=\dfrac{4{,}0\times10^{4}}{1800\pi}\\ \mathrm{V/m}\approx 7{,}07\\ \mathrm{V/m}.
Explicação: os passos são aritmética básica de substituição na fórmula obtida no passo anterior.

Passo 5

Agora parte (b): queremos a corrente que entra no corpo do nadador. Conceito: a corrente total que entra no corpo é o fluxo da densidade de corrente \mathbf{J} através da área de contato do corpo com o solo:
\boxed{I_{\text{corpo}}=\iint_{\text{área de contato}} \mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}.}á
Para avaliar essa integral precisamos modelar a área de contato. Observação e aproximação útil: como a=0{,}2\\ \mathrm{m} e h=1{,}7\\ \mathrm{m} são muito menores que d=30\\ \mathrm{m} (compare a/d\approx0{,}0067 e h/d\approx0{,}056), a variação de J(r) sobre a pequena área do corpo é pequena. Então podemos aproximar J como constante igual a J(d)=I_0/(2\pi d^2) sobre a área de contato e escrever
\boxed{I_{\text{corpo}}\approx J(d)\times A_{\text{contato}}.}
Essa aproximação facilita muito a conta e é apropriada no contexto de prova (razão: corpo pequeno comparado à distância).

Passo 6

Caso 1 — nadador em pé (vertical):
  • Modelo de contato: apenas a base do cilindro toca o solo; área de contato é a área do círculo da base:
A_{\text{pé}}=\pi a^2.é
  • Usando J(d)=I_0/(2\pi d^2),
I_{\text{corpo, em pé}}\approx J(d)\,A_{\text{pé}}=\dfrac{I_0}{2\pi d^2}\times\pi a^2=\dfrac{I_0\,a^2}{2d^2}.éé
Agora substituímos numericamente:
a^2=(0{,}2)^2=0{,}04\\ \mathrm{m}^2,\quad d^2=900\\ \mathrm{m}^2.
Portanto
I_{\text{corpo, em pé}}=\dfrac{20{,}0\times10^{3}\times 0{,}04}{2\times900}\\ \mathrm{A} =\dfrac{800}{1800}\\ \mathrm{A}\approx0{,}44\\ \mathrm{A}.é
Interpretação: em pé, apenas uma fração pequena da corrente total entra pelo corpo, pela pequena área de contato.

Passo 7

Caso 2 — nadador deitado (horizontal):
  • Modelo de contato: o corpo deitado tem muita área em contato; uma boa aproximação simples é tratar a área de contato como um retângulo de comprimento h (comprimento do corpo) e largura igual ao diâmetro 2a (aproximação da área plana de contato). Assim
A_{\text{deitado}}\approx 2a\,h.
(Outra aproximação possível seria usar parte da superfície lateral do cilindro; a ordem de grandeza será similar. Escolhi 2a h por ser simples e intuitivo.)
  • Usando a mesma aproximção J(d) constante:
I_{\text{corpo, deitado}}\approx J(d)\,A_{\text{deitado}} =\dfrac{I_0}{2\pi d^2}\times 2a h=\dfrac{I_0\,a h}{\pi d^2}.
Substituindo numeros:
a h=0{,}2\times1{,}7=0{,}34\\ \mathrm{m}^2,\quad \pi d^2=\pi\cdot900\approx2827{,}43.
Logo
I_{\text{corpo, deitado}}=\dfrac{20{,}0\times10^{3}\times 0{,}34}{\pi\times900}\\ \mathrm{A}\approx 2{,}41\\ \mathrm{A}.
Interpretação: deitado a área de contato é muito maior, logo a corrente que atravessa o corpo aumenta — aqui para alguns ampères, que já são correntes perigosas para pessoas.

Passo 8

Resumo físico curto (motivacional): as aproximações feitas (campo quase constante sobre a área do corpo) são válidas porque o corpo é pequeno comparado a d. Os valores obtidos dão a ordem de grandeza correta: corrente menor em pé (frações de ampère) e maior deitado (alguns ampères). Isso explica por que permanecer deitado aumenta a probabilidade de corrente maior entrando pelo corpo — uma observação útil para segurança.

Resposta

(a) \displaystyle E(d)=\frac{\rho I_0}{2\pi d^2}. Para d=30\\ \mathrm{m}: E(30\\ \mathrm{m})\approx 7{,}07\\ \mathrm{V/m}.
(b) Nadador em pé: \displaystyle I_{\text{corpo}}\approx 0{,}44\\ \mathrm{A}.
(b) Nadador deitado: \displaystyle I_{\text{corpo}}\approx 2{,}41\\ \mathrm{A}.

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