Questão 1: Tempo de Segurança para Abastecimento
Um veículo em movimento pode acumular carga em sua carroceria, funcionando de maneira análoga a um capacitor. Ao parar para abastecer, se a carroceria metálica entrar em contato com o bocal de abastecimento (que está aterrado), uma centelha pode surgir. Sabe-se que uma energia superior a \mathbf{1 0 ~ m J} é suficiente para incendiar vapores de combustível.

Dados:

  • Capacitância do veículo: \mathrm{C}=800 \mathrm{pF}
  • Resistência de descarga (através dos pneus e solo): \mathrm{R}=100 \mathrm{M} \Omega
  • Tensão inicial no veículo: \mathrm{V}_{0}=15 \mathrm{kV}
    a) Calcule a energia inicial U0 armazenada no veículo. Esta energia é perigosa?
    b) O processo de descarga é dado por Q(t)=Q_{0} e^{-\frac{t}{R C}}. Determine o tempo mínimo que o veículo deve esperar para que a energia armazenada seja reduzida a energia crítica de 10 mJ .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a energia inicial armazenada no veículo e dizer se essa energia é perigosa (comparar com a energia crítica de 10\\ \mathrm{mJ}).
  • (b) Determinar o tempo mínimo que o veículo deve aguardar para que a energia armazenada caia até a energia crítica de 10\\ \mathrm{mJ}, sabendo que Q(t)=Q_0 e^{-t/(RC)}.
Dados fornecidos (vou reescrever em unidades do SI para facilitar):
C = 800\\ \mathrm{pF} = 800\times 10^{-12}\\ \mathrm{F},
R = 100\\ \mathrm{M\Omega} = 100\times 10^{6}\\ \Omega,
V_0 = 15\\ \mathrm{kV} = 15\times 10^{3}\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Fórmula da energia armazenada num capacitor e entendimento físico (aula curtinha):
A energia armazenada num capacitor ideal é dada por
U=\frac{1}{2} C V^{2},
onde \,U é a energia em joules, C é a capacitância em farads e V é a diferença de potencial em volts. Intuição: quanto maior a carga (ou a tensão), mais energia guardada; o fator 1/2 vem da integração da força contra a qual se carrega o capacitor.
Vamos usar essa fórmula com os valores iniciais para achar U_0.

Passo 3

Cálculo numérico detalhado de U_0:
U_0=\frac{1}{2} C V_0^{2}.
Substituindo C=800\times 10^{-12}\\ \mathrm{F} e V_0=15\times 10^{3}\\ \mathrm{V}:
V_0^{2}=(15\times 10^{3})^{2}=225\times 10^{6}.
Logo
C V_0^{2}=(800\times 10^{-12})\times(225\times 10^{6})=(800\times 225)\times 10^{-12+6}.
Calculemos:
800\times 225 = 180000,
e
10^{-12+6}=10^{-6}.
Portanto
C V_0^{2}=180000\times 10^{-6}=0{,}18\\ \mathrm{J}.
Finalmente
U_0=\frac{1}{2}\times 0{,}18=0{,}09\\ \mathrm{J}=90\\ \mathrm{mJ}.

Passo 4

Comparação com a energia crítica e conclusão sobre perigo:
A energia crítica dada é 10\\ \mathrm{mJ}=0{,}01\\ \mathrm{J}.
Temos U_0=0{,}09\\ \mathrm{J}, que é maior que 0{,}01\\ \mathrm{J}.
Portanto, sim: a energia inicial é perigosa — ela é suficiente para provocar uma centelha que pode incendiar vapores de combustível.

Passo 5

Como a energia decai com o tempo durante a descarga (aula curta sobre decaimento):
Sabemos que a carga decai exponencialmente:
Q(t)=Q_0 e^{-t/(RC)}.
A energia do capacitor pode ser escrita em termos de Q como
U(t)=\frac{Q(t)^2}{2C}.
Substituindo Q(t) obtemos
U(t)=\frac{Q_0^2}{2C}\,e^{-2t/(RC)}.
Mas \dfrac{Q_0^2}{2C}=U_0, então
U(t)=U_0\,e^{-2t/(RC)}.
Observação: o expoente tem fator 2 porque a energia depende de Q^2.

Passo 6

Determinar o tempo t para que U(t)=U_{\text{crit}}=10\\ \mathrm{mJ}=0{,}01\\ \mathrm{J}:
Começamos da equação
U_0 e^{-2t/(RC)} = U_{\text{crit}}.
Isolando a exponencial:
e^{-2t/(RC)} = \frac{U_{\text{crit}}}{U_0}.
Aplicando ln em ambos os lados:
-\frac{2t}{RC} = \ln\!\left(\frac{U_{\text{crit}}}{U_0}\right).
Logo
t = -\frac{RC}{2}\,\ln\!\left(\frac{U_{\text{crit}}}{U_0}\right) = \frac{RC}{2}\,\ln\!\left(\frac{U_0}{U_{\text{crit}}}\right).

Passo 7

Cálculo numérico do tempo com passos:
Primeiro calculemos RC:
RC = (100\times 10^{6})\times(800\times 10^{-12}) = 0{,}08\\ \mathrm{s}.
Razão de energias:
\frac{U_0}{U_{\text{crit}}}=\frac{0{,}09}{0{,}01}=9.
Portanto
t=\frac{0{,}08}{2}\ln(9)=0{,}04\ln(9).
Sabendo que \ln(9)=2\ln(3)\approx 2\times 1{,}0986123\approx 2{,}1972246, temos
t \approx 0{,}04\times 2{,}1972246 \approx 0{,}0879\\ \mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente, t\approx 0{,}088\\ \mathrm{s}, ou cerca de 88\\ \mathrm{ms}.

Passo 8

Interpretação prática e incentivo:
O resultado mostra que, matematicamente, bastam algumas dezenas de milissegundos para a energia cair abaixo do limiar de 10\\ \mathrm{mJ} com os valores dados. Na prática, por segurança, recomenda-se aguardar mais tempo (e garantir um bom aterramento), mas matematicamente o tempo mínimo é cerca de 0{,}088\\ \mathrm{s}. Você está indo bem — problemas assim ficam mais fáceis quando a gente separa em etapas e usa as fórmulas com calma. Força aí!

Resposta

a) U_0=0{,}09\\ \mathrm{J}=90\\ \mathrm{mJ}. Sim, é perigosa.
b) t_{\min}\approx 0{,}088\\ \mathrm{s} (≈ 88\\ \mathrm{ms}).

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