Questão 1: Tempo de Segurança para Abastecimento
Um veículo em movimento pode acumular carga em sua carroceria, funcionando de maneira análoga a um capacitor. Ao parar para abastecer, se a carroceria metálica entrar em contato com o bocal de abastecimento (que está aterrado), uma centelha pode surgir. Sabe-se que uma energia superior a
é suficiente para incendiar vapores de combustível.
Dados:
- Capacitância do veículo:
- Resistência de descarga (através dos pneus e solo):
- Tensão inicial no veículo:
a) Calcule a energia inicial U0 armazenada no veículo. Esta energia é perigosa?
b) O processo de descarga é dado por
. Determine o tempo mínimo que o veículo deve esperar para que a energia armazenada seja reduzida a energia crítica de 10 mJ .
a) Calcule a energia inicial U0 armazenada no veículo. Esta energia é perigosa?
b) O processo de descarga é dado por
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a energia inicial armazenada no veículo e dizer se essa energia é perigosa (comparar com a energia crítica de
). - (b) Determinar o tempo mínimo que o veículo deve aguardar para que a energia armazenada caia até a energia crítica de
, sabendo que .
Dados fornecidos (vou reescrever em unidades do SI para facilitar):
Passo 2
Fórmula da energia armazenada num capacitor e entendimento físico (aula curtinha):
A energia armazenada num capacitor ideal é dada por
A energia armazenada num capacitor ideal é dada por
onde
é a energia em joules,
é a capacitância em farads e
é a diferença de potencial em volts. Intuição: quanto maior a carga (ou a tensão), mais energia guardada; o fator
vem da integração da força contra a qual se carrega o capacitor.
Vamos usar essa fórmula com os valores iniciais para achar
.
Passo 3
Cálculo numérico detalhado de
:
Substituindo
e
:
Logo
Calculemos:
e
Portanto
Finalmente
Passo 4
Comparação com a energia crítica e conclusão sobre perigo:
A energia crítica dada é .
Temos , que é maior que
.
Portanto, sim: a energia inicial é perigosa — ela é suficiente para provocar uma centelha que pode incendiar vapores de combustível.
A energia crítica dada é
Temos
Portanto, sim: a energia inicial é perigosa — ela é suficiente para provocar uma centelha que pode incendiar vapores de combustível.
Passo 5
Como a energia decai com o tempo durante a descarga (aula curta sobre decaimento):
Sabemos que a carga decai exponencialmente:
Sabemos que a carga decai exponencialmente:
A energia do capacitor pode ser escrita em termos de
como
Substituindo
obtemos
Mas
, então
Observação: o expoente tem fator
porque a energia depende de
.
Passo 6
Determinar o tempo
para que
:
Começamos da equação
Começamos da equação
Isolando a exponencial:
Aplicando ln em ambos os lados:
Logo
Passo 7
Cálculo numérico do tempo com passos:
Primeiro calculemos :
Primeiro calculemos
Razão de energias:
Portanto
Sabendo que
, temos
Arredondando razoavelmente,
, ou cerca de
.
Passo 8
Interpretação prática e incentivo:
O resultado mostra que, matematicamente, bastam algumas dezenas de milissegundos para a energia cair abaixo do limiar de com os valores dados. Na prática, por segurança, recomenda-se aguardar mais tempo (e garantir um bom aterramento), mas matematicamente o tempo mínimo é cerca de
. Você está indo bem — problemas assim ficam mais fáceis quando a gente separa em etapas e usa as fórmulas com calma. Força aí!
O resultado mostra que, matematicamente, bastam algumas dezenas de milissegundos para a energia cair abaixo do limiar de
Resposta
a)
. Sim, é perigosa.
b) (≈
).
b)