Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Identifique quais das equações diferenciais a seguir são lineares:
Escolha uma ou mais:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}+y=0
x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}+x y=0
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-7 y \frac{d y}{d x}+9 y=0
\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)-\frac{d y}{d x}+3 y=0
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+\left(x^{2}-4\right) y=0
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+2 y=0
\square

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais equações diferenciais, dentre as dadas, são lineares. O conteúdo é equações diferenciais lineares, que são aquelas que envolvem combinações lineares de y e suas derivadas, sem produtos ou funções não lineares de y.

Passo 2

Uma equação diferencial de ordem n é dita linear se puder ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_k(x) e o termo fonte g(x) dependem somente de x, e não há termos como y\cdot y', \bigl(y'\bigr)^2, nem funções não lineares de y.

Passo 3

Analiso a equação
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2\,\frac{dy}{dx} + y = 0.
Todos os termos são coeficientes (constantes) vezes y ou suas derivadas. Não há produtos entre derivadas e y. Logo, é linear.

Passo 4

Analiso a equação
x\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{dy}{dx} + x\,y = 0.
Os coeficientes são funções de x (no caso x e 1). Ainda assim, não há produtos do tipo y\cdot y' ou termos não lineares em y. Logo, é linear.

Passo 5

Analiso a equação
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 7\,y\,\frac{dy}{dx} + 9\,y = 0.
Aqui aparece o termo -7\,y\,y', que é produto de y por sua derivada. Isso viola a linearidade, tornando-a não linear.

Passo 6

Analiso a equação
\biggl(\frac{d^{3}y}{dx^{3}}\biggr)\biggl(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\biggr) - \frac{dy}{dx} + 3\,y = 0.
Há o produto \,y'''\cdot y'', portanto é claramente não linear.

Passo 7

Analiso a equação
x^{2}\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x\,\frac{dy}{dx} + \bigl(x^{2}-4\bigr)\,y = 0.
É a forma geral de uma equação de Bessel de ordem 2, cuja estrutura é linear: cada termo é coeficiente (função de x) vezes y ou derivada. Logo, é linear.

Passo 8

Analiso a equação
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 3\,\frac{dy}{dx} + 2\,y = 0.
Equação com coeficientes constantes, sem termos não lineares. Logo, é linear.

Resposta

As equações diferenciais lineares são: \frac{d^{2}y}{dx^{2}}+2\frac{dy}{dx}+y=0, x\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{dy}{dx}+x\,y=0, x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+x\frac{dy}{dx}+(x^{2}-4)y=0, \frac{d^{2}y}{dx^{2}}-3\frac{dy}{dx}+2y=0.

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