Considere os seguintes códigos:
  • EDO: Equação diferencial ordinária
  • EDP: Equação diferencial parcial
Classifique as equações diferenciais quanto ao tipo:
y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0
\frac{d^{5} y}{d x^{5}}-6 \frac{d y}{d x}=0
x^{2} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}-3 x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}-y=\cos x \square EDO
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0 \square EDP
y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=e^{x} \square EDO
\frac{d^{4} y}{d x^{4}}+y=\cos x \square
y^{(6)}+5 y^{(4)}-2 x^{2}+y=x^{4} \square
\frac{d y}{d x}=\cos (x+y) \square
(2 x y+3) d x+\left(x^{2}+2 y\right) d y=0 \square
\nabla^{2} u=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} \square EDP
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 \square EDP
\frac{d y}{d x}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} \square
y^{\prime \prime}+3\left(y^{\prime}\right)^{3}-4 y=x^{2} \square EDO

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos cada uma das equações diferenciais dadas como EDO (equação diferencial ordinária) ou EDP (equação diferencial parcial). Vamos usar o fato de que EDOs envolvem derivadas ordinais em uma única variável independente, enquanto EDPs envolvem derivadas parciais em mais de uma variável independente.

Passo 2

Critério de classificação:
  • Se aparecem símbolos de derivada parcial \partial ou o operador \nabla, e há mais de uma variável independente (por exemplo x,y,z,t), é EDP.
  • Caso contrário, se só aparecem derivadas totais em relação a uma variável (por exemplo x), é EDO.

Passo 3

Identificamos como EDP as equações que envolvem derivadas parciais:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0,
\nabla^{2}u=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}},
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0.

Passo 4

Todas as demais equações usam apenas derivadas ordinais em função de x (ou forma diferencial exata), logo são EDO.

Resposta

1. y'' - x\,y' + y = 0 ⟶ EDO
2. \dfrac{d^{5}y}{dx^{5}} - 6\,\dfrac{dy}{dx} = 0 ⟶ EDO
3. x^{2}\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} - 3x\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2\dfrac{dy}{dx} - y = \cos x ⟶ EDO
4. \dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \dfrac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = 0 ⟶ EDP
5. y'' - y' + 2y = e^{x} ⟶ EDO
6. \dfrac{d^{4}y}{dx^{4}} + y = \cos x ⟶ EDO
7. y^{(6)} + 5\,y^{(4)} - 2x^{2} + y = x^{4} ⟶ EDO
8. \dfrac{dy}{dx} = \cos(x+y) ⟶ EDO
9. (2xy+3)\,dx + (x^{2}+2y)\,dy = 0 ⟶ EDO
10. \nabla^{2}u = \dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} ⟶ EDP
11. \dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0 ⟶ EDP
12. \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} ⟶ EDO
13. y'' + 3\,(y')^{3} - 4y = x^{2} ⟶ EDO

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