Questão 7

Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Se f^{\prime \prime}(x)=-6 x ; f^{\prime}(2)=-14 ; f(2)=-9 encontre f(5)
Resposta: \square -132

Passo 1

O enunciado diz que \,f''(x)=-6x, e conhecemos f'(2)=-14 e f(2)=-9. O objetivo é achar f(5). Esse tipo de problema usa integração sucessiva: primeiro integramos f'' para obter f' (introduzindo uma constante de integração), depois usamos a condição em x=2 para determinar essa constante. Em seguida, integramos f' para obter f, introduzimos outra constante, e a encontramos usando f(2)=-9. Por fim, avaliamos f em x=5.

Passo 2

Integramos f''(x)=-6x para obter f'(x).
f'(x)=\int f''(x)\,dx=\int(-6x)\,dx=-3x^2+C_1.
Usamos f'(2)=-14:
-3\cdot2^2+C_1=-14\quad\Longrightarrow\quad -12+C_1=-14\quad\Longrightarrow\quad C_1=-2.
Logo,
f'(x)=-3x^2-2.

Passo 3

Agora integramos f'(x)=-3x^2-2 para achar f(x):
f(x)=\int(-3x^2-2)\,dx=-x^3-2x+C_2.
Aplicamos f(2)=-9:
-2^3-2\cdot2+C_2=-9\quad\Longrightarrow\quad -8-4+C_2=-9\quad\Longrightarrow\quad -12+C_2=-9\quad\Longrightarrow\quad C_2=3.
Portanto,
f(x)=-x^3-2x+3.

Passo 4

Basta avaliar em x=5:
f(5)=-5^3-2\cdot5+3=-125-10+3=-132.

Resposta

-132

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