Questão 11
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Dado o problema de valor inicial:
f^{\prime \prime}(x)=2 x^{-1 / 3}, f^{\prime}(1)=4, e f(0)=2
Encontre a sua solução e determine f(3) :
Resposta: \square 16,23

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
f’’(x) =2 x^{−1/3}, com as condições f’(1) =4 e f(0) =2.
O objetivo é encontrar a expressão de f(x) integrando duas vezes e usar as condições para determinar as constantes de integração, e em seguida calcular f(3).

Passo 2

Integramos f’’(x) para obter f’(x):
f'(x)=\int 2\,x^{-1/3}\,dx =2\cdot\frac{x^{2/3}}{\tfrac{2}{3}}+C_{1} =3\,x^{2/3}+C_{1}.

Passo 3

Usamos a condição f’(1) =4 para achar C_{1}:
f'(1)=3\cdot1^{2/3}+C_{1}=3+C_{1}=4 \;\Longrightarrow\;C_{1}=1.
Logo
f'(x)=3\,x^{2/3}+1.

Passo 4

Integramos f’(x) para obter f(x):
f(x)=\int\bigl(3\,x^{2/3}+1\bigr)\,dx =3\cdot\frac{x^{5/3}}{\tfrac{5}{3}}+x+C_{2} =\frac{9}{5}\,x^{5/3}+x+C_{2}.
Aplicando f(0) =2:
f(0)=\frac{9}{5}\cdot0^{5/3}+0+C_{2}=C_{2}=2.
Portanto
f(x)=\frac{9}{5}\,x^{5/3}+x+2.

Passo 5

Calculamos f(3):
f(3) =\frac{9}{5}\,3^{5/3}+3+2.
Como 3^{5/3}=3\cdot3^{2/3}\approx6{,}24024, temos
\frac{9}{5}\cdot6{,}24024+5 =1{,}8\cdot6{,}24024+5 \approx11{,}23243+5 \approx16{,}23243\approx16{,}23.

Resposta

16,23

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