Questão 7

Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Seja n um número inteiro, n \geq 0. Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio.
Observação: Consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma.
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
\frac{(n-k+2)(n-k+1)}{(n+2)(n+1)}
n+1
\frac{(n+2)(n+1)}{2}
\frac{(n-k+2)}{(n+1)}
n+k

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de distribuir n bolas idênticas entre duas pessoas (Luís e Antônio), permitindo que uma ou ambas recebam zero bolas. O conteúdo é distribuição de objetos idênticos em caixas (estrelas e barras).

Passo 2

Seja x o número de bolas que Luís recebe e y o número que Antônio recebe. Então temos a equação
x + y = n,
com x\ge0 e y\ge0. Nosso objetivo é contar todas as soluções inteiras não-negativas dessa equação.

Passo 3

Pela técnica de estrelas e barras, o número de soluções de
x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n
em inteiros não-negativos é
\binom{n + k - 1}{k - 1}.
Aqui k = 2, logo o total de distribuições é
\binom{n + 2 - 1}{2 - 1} = \binom{n+1}{1} = n+1.

Resposta

n+1

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