Uma lotação possui três bancos para passageiros, cada um com quatro lugares, e deve transportar os quatro membros da familia
Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais seis pessoas. Além disso,
- A família Sousa quer ocupar um mesmo banco;
- Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.
Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros na lotação é igual a:
Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais seis pessoas. Além disso,
Passo 1
O enunciado descreve uma lotação com três bancos para passageiros, cada um com quatro lugares, totalizando doze assentos, e diz que são transportadas doze pessoas: os quatro membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais seis pessoas quaisquer. As condições são:
- A família Sousa deve ocupar exatamente um único banco (que tem quatro lugares).
- Lúcia e Mauro devem sentar-se lado a lado (isto é, em dois assentos adjacentes no mesmo banco).
Vamos contar de quantas formas podemos dispor todas as doze pessoas nos doze assentos, obedecendo a esses dois requisitos.
Passo 2
Primeiro vamos escolher e organizar o banco ocupado pela família Sousa.
- Escolha do banco: há três bancos possíveis, logo
escolhas. - Arranjo dos quatro membros da família Sousa nos quatro assentos desse banco:
maneiras.
Portanto, o número de maneiras de acomodar a família é
Passo 3
Ficam dois bancos livres, cada um com quatro lugares, totalizando oito assentos. Neles devem sentar-se Lúcia, Mauro e as seis outras pessoas. Queremos que Lúcia e Mauro fiquem em assentos adjacentes no mesmo banco.
Em cada um dos dois bancos livres há três pares de assentos adjacentes (lugares 1–2, 2–3 e 3–4). Logo, o total de pares adjacentes nesses dois bancos é
escolhas de par de assentos contíguos. Para cada par escolhido, Lúcia e Mauro podem ser permutados em
ordens (LM ou ML). Após colocar o casal, restam
assentos livres para as seis pessoas restantes, que podem ser dispostas em
maneiras.
Logo, o número de formas de sentar Lúcia, Mauro e as outras seis pessoas é
Passo 4
Multiplicando as escolhas independentes:
- Arranjo da família Sousa:
, - Arranjo de Lúcia, Mauro e demais seis:
.
O total é