Uma lotação possui três bancos para passageiros, cada um com quatro lugares, e deve transportar os quatro membros da familia
Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais seis pessoas. Além disso,
  1. A família Sousa quer ocupar um mesmo banco;
  2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.
Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros na lotação é igual a:

Passo 1

O enunciado descreve uma lotação com três bancos para passageiros, cada um com quatro lugares, totalizando doze assentos, e diz que são transportadas doze pessoas: os quatro membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais seis pessoas quaisquer. As condições são:
  1. A família Sousa deve ocupar exatamente um único banco (que tem quatro lugares).
  2. Lúcia e Mauro devem sentar-se lado a lado (isto é, em dois assentos adjacentes no mesmo banco).
    Vamos contar de quantas formas podemos dispor todas as doze pessoas nos doze assentos, obedecendo a esses dois requisitos.

Passo 2

Primeiro vamos escolher e organizar o banco ocupado pela família Sousa.
  • Escolha do banco: há três bancos possíveis, logo 3 escolhas.
  • Arranjo dos quatro membros da família Sousa nos quatro assentos desse banco: 4! maneiras.
Portanto, o número de maneiras de acomodar a família é
3 \times 4!.

Passo 3

Ficam dois bancos livres, cada um com quatro lugares, totalizando oito assentos. Neles devem sentar-se Lúcia, Mauro e as seis outras pessoas. Queremos que Lúcia e Mauro fiquem em assentos adjacentes no mesmo banco.
Em cada um dos dois bancos livres há três pares de assentos adjacentes (lugares 1–2, 2–3 e 3–4). Logo, o total de pares adjacentes nesses dois bancos é
2 \times 3 = 6
escolhas de par de assentos contíguos. Para cada par escolhido, Lúcia e Mauro podem ser permutados em 2 ordens (LM ou ML). Após colocar o casal, restam 6 assentos livres para as seis pessoas restantes, que podem ser dispostas em 6! maneiras.
Logo, o número de formas de sentar Lúcia, Mauro e as outras seis pessoas é
6 \times 2 \times 6!.

Passo 4

Multiplicando as escolhas independentes:
  • Arranjo da família Sousa: 3 \times 4!,
  • Arranjo de Lúcia, Mauro e demais seis: 6 \times 2 \times 6!.
O total é
3 \times 4! \times 6 \times 2 \times 6! = 3 \times 24 \times 12 \times 720 = 622\,080.

Resposta

622\,080 maneiras distintas.

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