3 (2.0 pontos) Obtenha a série de Maclaurin da função
dada por
, indicando o raio de convergència.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin (isto é, em torno de
) da função
Para isso vamos usar o desenvolvimento de Maclaurin de
e em seguida multiplicar por
.
Passo 2
A série de Maclaurin de
é bem conhecida e dada por
e seu raio de convergência é
Passo 3
Multiplicando a expansão de
por
, obtemos
Passo 4
Para escrever no formato usual
, fazemos a troca de índice
. Então, quando
vai de
a
,
vai de
a
, e
Isso mostra que o coeficiente de
é zero para
e é
para
.
Passo 5
Como a multiplicação por
não altera o raio de convergência da série, o raio de convergência de
continua sendo