3 (2.0 pontos) Obtenha a série de Maclaurin da função f dada por f(x)=x^{2} e^{x}, indicando o raio de convergència.

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin (isto é, em torno de x=0) da função
f(x)=x^{2}e^{x}.
Para isso vamos usar o desenvolvimento de Maclaurin de e^{x} e em seguida multiplicar por x^{2}.

Passo 2

A série de Maclaurin de e^{x} é bem conhecida e dada por
e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},
e seu raio de convergência é R=\infty.

Passo 3

Multiplicando a expansão de e^{x} por x^{2}, obtemos
x^{2}e^{x} = x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n!}.

Passo 4

Para escrever no formato usual \sum_{k=0}^\infty a_{k}x^{k}, fazemos a troca de índice k=n+2. Então, quando n vai de 0 a \infty, k vai de 2 a \infty, e
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n!} = \sum_{k=2}^{\infty}\frac{x^{k}}{(k-2)!}.
Isso mostra que o coeficiente de x^{k} é zero para k<2 e é \tfrac{1}{(k-2)!} para k\ge2.

Passo 5

Como a multiplicação por x^{2} não altera o raio de convergência da série, o raio de convergência de f(x) continua sendo R=\infty.

Resposta

\boxed{\,x^{2}e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n!} = \sum_{k=2}^{\infty}\frac{x^{k}}{(k-2)!},\quad R=\infty\,}.

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