Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A temperatura
é:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
Atingiu 1,00 de 1,00
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a função temperatura [u(x,t)):
- Barra de comprimento
cm: o espaço é . - Condições de contorno (extremidades mantidas a
C): e para todo . - Condição inicial (distribuição de temperatura no tempo
):
- A equação do calor com condutividade térmica (constante)
para
.
O que se pede: obter a solução
que satisfaz a equação do calor, as condições de contorno e a condição inicial dada.]
Passo 2
Estratégia e fórmula geral (motivos e explicação didática).
- Quando as condições de contorno em
são , a solução pode ser representada como uma série de senos espaciais (série trigonométrica do tipo seno), porque os senos satisfazem automaticamente as condições em e . - A forma geral da solução que vence o problema de valor inicial com essas BCs é
onde os coeficientes
são determinados impondo
.
- Para uma série de senos no intervalo
a fórmula dos coeficientes pela ortogonalidade é
Aqui
, então
Breve justificativa da fórmula: as funções
são ortogonais em
com norma
; projetando
nessa base obtém-se a fórmula acima.
Passo 3
Cálculo explícito de
usando a forma de
(passo a passo).
- Defina
para simplificar as integrais. Então
Separe constantes:
Agora calcule cada integral com cuidado.
- Primeira integral:
.
- Use integração por partes: tome
, . Então e . - Logo
- Avaliando de
a :
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
- Segunda integral:
.
- Escreva
e use antiderivadas já conhecidas. - Antiderivada de
é . E já sabemos da parte anterior. - Computa-se
- Avaliando de
a :
No ponto
a primeira parcela é zero, então
Simplificando:
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
- Some as duas contribuições internas (
):
Note que os termos em
se cancelam, sobrando apenas termos em
:
- Multiplicando pelo fator externo
em :
- Substitua
. Observe que . Além disso , portanto .
- Assim
Passo 4
Montando a solução completa com os coeficientes encontrados:
Comparando com as alternativas dadas, essa expressão coincide exatamente com a alternativa (a).