Questão 3

Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A temperatura u(x, t)\) em uma barra com 5 cm de comprimento, extremidades mantidas à temperatura de \(0^{\circ} \mathrm{C}\) para todo \(t>0\), e uma distribuição de temperatura inicial dada por \(f(x)= \begin{cases}x / 2, & 0<x<2, \\\ (5-x) / 3, & 2<x<5,\end{cases}
é:
◯ a. \quad u(x, t)=\frac{25}{3 \pi^{2}} \sum_{n \geq 1} \frac{\sin (n \pi 2 / 5)}{n^{2}} e^{-k n^{2} \pi^{2} t /(25)} \sin \frac{n \pi x}{5}
◯ b. \quad u(x, t)=\frac{25}{3 \pi^{2}} \sum_{n \geq 1} \frac{1-\sin (n \pi / 5)}{n^{2}} e^{-k n^{2} \pi^{2} t /(25)} \sin \frac{n \pi x}{5}
◯ c. u(x, t)=\frac{25}{3 \pi^{2}} \sum_{n \geq 1} \frac{\sin (n \pi / 5)}{n^{2}} e^{-k n^{2} \pi^{2} t /(25)} \cos \frac{n \pi x}{5}
◯ d. \quad u(x, t)=\frac{25}{3 \pi^{2}} \sum_{n \geq 1} \frac{1-\sin (n \pi 2 / 5)}{n^{2}} e^{-k n^{2} \pi^{2} t /(25)} \sin \frac{n \pi x}{5}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a função temperatura [u(x,t)):
  • Barra de comprimento 5 cm: o espaço é 0\le x\le 5.
  • Condições de contorno (extremidades mantidas a 0^\circC): u(0,t)=0 e u(5,t)=0 para todo t>0.
  • Condição inicial (distribuição de temperatura no tempo t=0):
f(x)=\begin{cases} x/2, & 0<x<2,\\[4pt] (5-x)/3, & 2<x<5. \end{cases}
  • A equação do calor com condutividade térmica (constante) k\] está implícita; buscamos \(u(x,t) para t>0.
O que se pede: obter a solução u(x,t) que satisfaz a equação do calor, as condições de contorno e a condição inicial dada.]

Passo 2

Estratégia e fórmula geral (motivos e explicação didática).
  • Quando as condições de contorno em x são u(0,t)=u(5,t)=0, a solução pode ser representada como uma série de senos espaciais (série trigonométrica do tipo seno), porque os senos satisfazem automaticamente as condições em x=0 e x=5.
  • A forma geral da solução que vence o problema de valor inicial com essas BCs é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\, e^{-k (n\pi/5)^2 t}\,\sin\!\left(\frac{n\pi x}{5}\right),
onde os coeficientes b_n são determinados impondo u(x,0)=f(x).
  • Para uma série de senos no intervalo (0,L) a fórmula dos coeficientes pela ortogonalidade é
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Aqui L=5, então
b_n=\frac{2}{5}\int_{0}^{5} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{5}\right)\,dx.
Breve justificativa da fórmula: as funções \sin(n\pi x/L) são ortogonais em [0,L] com norma \int_0^L \sin^2(n\pi x/L)\,dx = L/2; projetando f nessa base obtém-se a fórmula acima.

Passo 3

Cálculo explícito de b_n usando a forma de f(x) (passo a passo).
  • Defina
a=\frac{n\pi}{5},
para simplificar as integrais. Então
b_n=\frac{2}{5}\left[\int_{0}^{2}\frac{x}{2}\sin(ax)\,dx \;+\; \int_{2}^{5}\frac{5-x}{3}\sin(ax)\,dx\right].
Separe constantes:
b_n=\frac{2}{5}\left[\frac{1}{2}\int_{0}^{2} x\sin(ax)\,dx \;+\; \frac{1}{3}\int_{2}^{5} (5-x)\sin(ax)\,dx\right].
Agora calcule cada integral com cuidado.
  1. Primeira integral: I_1=\int_{0}^{2} x\sin(ax)\,dx.
  • Use integração por partes: tome u=x, dv=\sin(ax)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(ax)}{a}.
  • Logo
\int x\sin(ax)\,dx = -\frac{x\cos(ax)}{a} + \frac{\sin(ax)}{a^2} + C.
  • Avaliando de 0 a 2:
I_1=\left[-\frac{x\cos(ax)}{a} + \frac{\sin(ax)}{a^2}\right]_{0}^{2} = -\frac{2\cos(2a)}{a} + \frac{\sin(2a)}{a^2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora:
\frac{1}{2}I_1 = -\frac{\cos(2a)}{a} + \frac{\sin(2a)}{2a^2}.
  1. Segunda integral: I_2=\int_{2}^{5} (5-x)\sin(ax)\,dx.
  • Escreva (5-x)\sin(ax)=5\sin(ax)-x\sin(ax) e use antiderivadas já conhecidas.
  • Antiderivada de \sin(ax) é -\dfrac{\cos(ax)}{a}. E já sabemos \int x\sin(ax)\,dx da parte anterior.
  • Computa-se
\int (5-x)\sin(ax)\,dx = -\frac{5\cos(ax)}{a} -\left(-\frac{x\cos(ax)}{a} + \frac{\sin(ax)}{a^2}\right) = \frac{(x-5)\cos(ax)}{a} - \frac{\sin(ax)}{a^2}.
  • Avaliando de x=2 a x=5:
I_2=\left[\frac{(x-5)\cos(ax)}{a} - \frac{\sin(ax)}{a^2}\right]_{2}^{5}.
No ponto x=5 a primeira parcela é zero, então
I_2 = \left(0 - \frac{\sin(5a)}{a^2}\right) - \left(\frac{(2-5)\cos(2a)}{a} - \frac{\sin(2a)}{a^2}\right).
Simplificando:
I_2 = \frac{3\cos(2a)}{a} + \frac{\sin(2a)-\sin(5a)}{a^2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3} que estava fora:
\frac{1}{3}I_2 = \frac{\cos(2a)}{a} + \frac{\sin(2a)-\sin(5a)}{3a^2}.
  1. Some as duas contribuições internas ( \tfrac{1}{2}I_1 + \tfrac{1}{3}I_2):
\frac{1}{2}I_1+\frac{1}{3}I_2 = \Big(-\frac{\cos(2a)}{a} + \frac{\sin(2a)}{2a^2}\Big) + \Big(\frac{\cos(2a)}{a} + \frac{\sin(2a)-\sin(5a)}{3a^2}\Big).
Note que os termos em \cos(2a)/a se cancelam, sobrando apenas termos em \sin:
\frac{1}{2}I_1+\frac{1}{3}I_2 = \frac{\sin(2a)}{2a^2} + \frac{\sin(2a)-\sin(5a)}{3a^2} = \frac{5\sin(2a)-2\sin(5a)}{6a^2}.
  1. Multiplicando pelo fator externo \dfrac{2}{5} em b_n:
b_n=\frac{2}{5}\cdot\frac{5\sin(2a)-2\sin(5a)}{6a^2} = \frac{1}{15}\cdot\frac{5\sin(2a)-2\sin(5a)}{a^2}.
  1. Substitua a=\dfrac{n\pi}{5}. Observe que \sin(5a)=\sin(n\pi)=0. Além disso a^2=\dfrac{n^2\pi^2}{25}, portanto \dfrac{1}{a^2}=\dfrac{25}{n^2\pi^2}.
  • Assim
b_n=\frac{1}{15}\left(5\sin(2a)\right)\frac{25}{n^2\pi^2} = \frac{25}{15}\cdot\frac{5\sin\!\left(\frac{2n\pi}{5}\right)}{n^2\pi^2}.
\frac{25}{15}=\frac{5}{3},\quad\text{logo}\quad b_n=\frac{25}{3\pi^2}\cdot\frac{\sin\!\left(\frac{2n\pi}{5}\right)}{n^2}.

Passo 4

Montando a solução completa com os coeficientes encontrados:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\, e^{-k (n\pi/5)^2 t}\,\sin\!\left(\frac{n\pi x}{5}\right) = \frac{25}{3\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\!\left(\dfrac{2n\pi}{5}\right)}{n^{2}} e^{-k n^{2}\pi^{2}t/25}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{5}\right).
Comparando com as alternativas dadas, essa expressão coincide exatamente com a alternativa (a).

Resposta

u(x,t)=\dfrac{25}{3\pi^{2}}\displaystyle\sum_{n\ge 1}\dfrac{\sin\!\left(\dfrac{2n\pi}{5}\right)}{n^{2}}\,e^{-k n^{2}\pi^{2}t/25}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{5}\right)

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