A série em cosenos de Fourier de f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0<x<1, \\\\ 0,1<x<2\end{array}\right., em [0,2] é:
◯ a. \quad \frac{1}{4}+\frac{2}{\pi^{2}} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{2}}\left[n \pi \sin \frac{n \pi}{2}-2\left(1-\cos \frac{n \pi}{2}\right)\right] \cos \frac{n \pi x}{2}
◯ b. \quad \frac{1}{4}-\frac{2}{\pi^{2}} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{2}}\left[n \pi \sin \frac{n \pi}{2}-2\left(1-\cos \frac{n \pi}{2}\right)\right] \cos \frac{n \pi x}{2}
◯ C. \frac{1}{4}+\frac{2}{\pi^{2}} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{2}}\left[n \pi \sin \frac{n \pi}{2}-2\left(1+\cos \frac{n \pi}{2}\right)\right] \cos \frac{n \pi x}{2}
◯ d. \quad \frac{1}{4}+\frac{2}{\pi^{2}} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{2}}\left[n \pi \sin \frac{n \pi}{2}+2\left(1-\cos \frac{n \pi}{2}\right)\right] \cos \frac{n \pi x}{2}
Passo 1
O enunciado dá a função definida por partes em [0,2]\):
\[f(x)=\begin{cases} x, & 0<x<1,\\[4pt] 0, & 1<x<2, \end{cases}
e pede a série em cossenos de Fourier de f\] no intervalo \([0,2]. As informações relevantes são:
O intervalo é [0,2].
A função vale \,x em (0,1) e 0 em (1,2).
Quer-se a série em cossenos (ou seja, a expansão usando \cos\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big) com L=2).
O objetivo final é identificar qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) coincide com a série correta.]
Passo 2
Vou escrever a fórmula padrão da série em cossenos para um intervalo [0,L]. Para L=2 a forma é:
onde L=2. Aqui a_0 é o coeficiente de ordem zero dado pela mesma fórmula (com n=0) e a série usa \tfrac{a_0}{2} como termo constante. Interpretando: a_n mede a “projeção” de f na função \cos\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big). Como L=2 obtemos a forma prática que usarei a seguir.
Comparando com as alternativas fornecidas vemos que a expressão obtida coincide exatamente com a alternativa (a): sinal positivo antes da soma, fator \tfrac{2}{\pi^{2}}, o \tfrac{1}{n^{2}} e o termo entre colchetes n\pi\sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)-2\big(1-\cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)\big) correspondem à alternativa (a).