Questão 2

Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
A série em cosenos de Fourier de f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0<x<1, \\\\ 0,1<x<2\end{array}\right., em [0,2] é:
◯ a. \quad \frac{1}{4}+\frac{2}{\pi^{2}} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{2}}\left[n \pi \sin \frac{n \pi}{2}-2\left(1-\cos \frac{n \pi}{2}\right)\right] \cos \frac{n \pi x}{2}
◯ b. \quad \frac{1}{4}-\frac{2}{\pi^{2}} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{2}}\left[n \pi \sin \frac{n \pi}{2}-2\left(1-\cos \frac{n \pi}{2}\right)\right] \cos \frac{n \pi x}{2}
◯ C. \frac{1}{4}+\frac{2}{\pi^{2}} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{2}}\left[n \pi \sin \frac{n \pi}{2}-2\left(1+\cos \frac{n \pi}{2}\right)\right] \cos \frac{n \pi x}{2}
◯ d. \quad \frac{1}{4}+\frac{2}{\pi^{2}} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{2}}\left[n \pi \sin \frac{n \pi}{2}+2\left(1-\cos \frac{n \pi}{2}\right)\right] \cos \frac{n \pi x}{2}

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes em [0,2]\): \[f(x)=\begin{cases} x, & 0<x<1,\\[4pt] 0, & 1<x<2, \end{cases}
e pede a série em cossenos de Fourier de f\] no intervalo \([0,2]. As informações relevantes são:
  • O intervalo é [0,2].
  • A função vale \,x em (0,1) e 0 em (1,2).
  • Quer-se a série em cossenos (ou seja, a expansão usando \cos\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big) com L=2).
    O objetivo final é identificar qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) coincide com a série correta.]

Passo 2

Vou escrever a fórmula padrão da série em cossenos para um intervalo [0,L]. Para L=2 a forma é:
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right).
As fórmulas para os coeficientes são (explicando cada termo):
a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx, \qquad n\ge 0,
onde L=2. Aqui a_0 é o coeficiente de ordem zero dado pela mesma fórmula (com n=0) e a série usa \tfrac{a_0}{2} como termo constante. Interpretando: a_n mede a “projeção” de f na função \cos\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big). Como L=2 obtemos a forma prática que usarei a seguir.

Passo 3

Calcular a_0 (termo constante). Usando L=2:
a_0=\frac{2}{2}\int_{0}^{2} f(x)\,dx=\int_{0}^{2} f(x)\,dx.
Como f(x)=x em (0,1) e 0 em (1,2), temos
\int_{0}^{2} f(x)\,dx=\int_{0}^{1} x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
Portanto o termo constante na série é
\frac{a_0}{2}=\frac{1}{4}.
Isso já confirma que o termo constante \tfrac{1}{4} que aparece em todas as alternativas está correto.

Passo 4

Agora calculo a_n para n\ge 1. Pela fórmula com L=2:
a_n=\frac{2}{2}\int_{0}^{2} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx=\int_{0}^{2} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
Novamente, como f(x)=x só em (0,1) e é zero em (1,2), a integral reduz para
a_n=\int_{0}^{1} x\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
Para resolver essa integral uso integração por partes. Vou lembrar a fórmula de integração por partes e explicar os símbolos:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolho u=x (então du=dx) e dv=\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx. Para encontrar v integro dv:
v=\int \cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx=\frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right).
Agora aplico integração por partes na integral de 0 a 1.

Passo 5

Aplicando a fórmula:
\int_{0}^{1} x\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx = \left.x\cdot\frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
Avalio o primeiro termo de contorno:
\left.x\cdot\frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right|_{0}^{1}=\frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-0.
Agora a segunda integral; para integrá-la faço a primitiva de \sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right):
\int \sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx = -\frac{2}{n\pi}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right).
Então
\int_{0}^{1} \frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx = \frac{2}{n\pi}\left(-\frac{2}{n\pi}\right)\left[\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right]_{0}^{1} = -\frac{4}{n^{2}\pi^{2}}\left(\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-\cos 0\right).
Lembrando que \cos 0=1. Substituindo de volta, obtemos
a_n=\frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \frac{4}{n^{2}\pi^{2}}\left(\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-1\right).

Passo 6

Agora manipulo a_n para colocá-lo na forma que aparece nas alternativas. Coloco a_n com um fator \tfrac{2}{\pi^{2}}\cdot\dfrac{1}{n^{2}}:
a_n = \frac{2}{\pi^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}}\Big[ n\pi\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right) +2\big(\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-1\big)\Big].
Uma observação sobre sinais: 2(\cos-\!1)= -2(1-\cos), então a expressão dentro dos colchetes também pode ser escrita como
n\pi\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-2\big(1-\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\big).
Portanto a série completa é
f(x)=\frac{1}{4}+\frac{2}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\Big[n\pi\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)-2\big(1-\cos\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\big)\Big]\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right).

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas vemos que a expressão obtida coincide exatamente com a alternativa (a): sinal positivo antes da soma, fator \tfrac{2}{\pi^{2}}, o \tfrac{1}{n^{2}} e o termo entre colchetes n\pi\sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)-2\big(1-\cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)\big) correspondem à alternativa (a).

Resposta

a.

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