Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
9.
C: x=2sen t, y=t, z=-2cos t, 0 ≤ t ≤ π

Passo 1

O enunciado fornecido diz apenas: calcular “a integral de linha” para a curva C dada por
x=2\operatorname{sen} t,\qquad y=t,\qquad z=-2\cos t,\qquad 0\le t\le\pi.
O que falta e que é essencial para resolver qualquer integral de linha é especificar qual integral exatamente: por exemplo
  • uma integral de linha do tipo escalar (primeira espécie) \displaystyle\int_C f(x,y,z)\,ds, ou
  • uma integral de linha de campo vetorial (segunda espécie) \displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, ou
  • a integral de uma forma diferencial \displaystyle\int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz.
Sem essa informação (ou sem o campo vetorial \mathbf{F} ou a função f ou as componentes P,Q,R) não há como calcular um valor numérico único da “integral de linha”. Portanto, com o enunciado do jeito que veio, não é possível obter um único resultado numérico definitivo — é preciso saber qual integrando usar.

Passo 2

Mesmo não tendo o integrando, vou te ensinar passo a passo como proceder em qualquer caso — assim, se você só esqueceu de enviar o integrando, consegue aplicar direto na prova. Primeiro, parametrize a curva em vetor posição e calcule suas derivadas (essas partes dependem só da curva, e já podemos fazer):
Defina a parametrização vetorial
\mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=\bigl(2\operatorname{sen} t,\,t,\,-2\cos t\bigr).
Derivando componente a componente (regra básica de derivação):
\mathbf{r}'(t)=\bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr)=\bigl(2\cos t,\,1,\,2\operatorname{sen} t\bigr).
Isso é útil em todas as versões de integral de linha: precisamos de \mathbf{r}'(t) para computar dx,dy,dz e para |\mathbf{r}'(t)|.

Passo 3

Calcule o módulo da velocidade |\mathbf{r}'(t)| — usado nas integrais do tipo \int_C f\,ds e também para o comprimento de arco. Faça as contas com calma:
|\mathbf{r}'(t)|=\sqrt{(2\cos t)^2 + 1^2 + (2\operatorname{sen} t)^2} =\sqrt{4\cos^2 t + 1 + 4\operatorname{sen}^2 t}.
Use a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^2 t+\cos^2 t=1. Agrupando:
4\cos^2 t + 4\operatorname{sen}^2 t = 4(\cos^2 t+\operatorname{sen}^2 t)=4.
Portanto
|\mathbf{r}'(t)|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
Observação prática: aqui o módulo é constante ao longo da curva — isso simplifica muito integrais do tipo escalar e o cálculo do comprimento.

Passo 4

Como exemplo útil (e comum em provas), vamos calcular o comprimento da curva C, que é a integral de linha do tipo escalar com f\equiv1:
\text{Comprimento}\text{(C)}=\int_C ds=\int_{t=0}^{\pi} |\mathbf{r}'(t)|\,dt =\int_{0}^{\pi}\sqrt{5}\,dt=\sqrt{5}\,\pi.
Esse é um cálculo direto e frequentemente pedem isso — agora já tens o resultado e o procedimento.

Passo 5

Agora explico a fórmula geral para cada tipo de integral de linha, mostrando exatamente o que substituir (para você aplicar rapidamente no exame):
  1. Integral de linha escalar (primeira espécie). Dada uma função escalar f(x,y,z),
\int_C f(x,y,z)\,ds = \int_{t=a}^{b} f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt.
No nosso caso a=0, b=\pi e |\mathbf{r}'(t)|=\sqrt{5}, logo
\int_C f\,ds=\int_{0}^{\pi} f\bigl(2\operatorname{sen} t,\,t,\,-2\cos t\bigr)\,\sqrt{5}\,dt.
Na prova: substitui f e resolve a integral ordinária em t.
  1. Integral de linha de um campo vetorial (segunda espécie). Para \mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(P,Q,R\bigr),
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{t=a}^{b} \mathbf{F}\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Aqui, com \mathbf{r}'(t)=\bigl(2\cos t,\,1,\,2\operatorname{sen} t\bigr),
\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{\pi} \bigl(P(2\operatorname{sen} t,t,-2\cos t)\cdot 2\cos t + Q(2\operatorname{sen} t,t,-2\cos t)\cdot 1 + R(2\operatorname{sen} t,t,-2\cos t)\cdot 2\operatorname{sen} t\bigr)\,dt.
Na prova: plugas P,Q,R e resolve a integral em t.
  1. Integral de forma diferencial \int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz. Note que dx=x'(t)\,dt etc., então isso é exatamente o caso anterior:
\int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\int_{0}^{\pi}\bigl(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\bigr)\,dt,
com os mesmos x',y',z' que já calculamos.

Passo 6

Para fixar com um exemplo concreto (muito útil na prova), vou calcular a integral
\int_C x\,dx + y\,dy + z\,dz,
que é uma forma que aparece frequentemente. Observação útil: existe uma identidade prática:
x\,dx+y\,dy+z\,dz=\tfrac{1}{2}\,d\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr).
Logo a integral sobre C é fácil de avaliar como integral de uma derivada exata — basta avaliar a primitiva nos extremos da curva (em termos de parâmetro t).
Calcule primeiro a combinação x^2+y^2+z^2 ao longo da curva (peguei as expressões de x,y,z da parametrização):
x^2+y^2+z^2=(2\operatorname{sen} t)^2 + t^2 + (-2\cos t)^2 = 4\operatorname{sen}^2 t + t^2 + 4\cos^2 t.
Usando \operatorname{sen}^2 t+\cos^2 t=1,
x^2+y^2+z^2 = 4 + t^2.
Portanto
\int_C x\,dx + y\,dy + z\,dz = \tfrac{1}{2}\bigl[x^2+y^2+z^2\bigr]_{t=0}^{t=\pi} = \tfrac{1}{2}\bigl((4+\pi^2)-(4+0^2)\bigr) = \tfrac{1}{2}\pi^2.
Então, mesmo sem o enunciado original completo, este é um exemplo concreto de integral de linha que dá um valor simples: \tfrac{\pi^2}{2}.

Passo 7

Resumo prático para a prova (roteiro que segue sempre):
  • Identifica se a integral é do tipo \int_C f\,ds ou \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ou \int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz.
  • Escreve a parametrização \mathbf{r}(t) e calcula \mathbf{r}'(t).
  • Se for \int_C f\,ds usa |\mathbf{r}'(t)| e transforma para \int f(\mathbf{r}(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt.
  • Se for \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} substitui \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) e integra em t.
  • Procura identificar funções exatas ou simplificações (como no exemplo com \tfrac{1}{2}d(x^2+y^2+z^2)) que transformam a integral em uma avaliação direta.

Resposta

Não é possível calcular um valor numérico único porque o enunciado não especifica qual integral de linha ( f ou \mathbf{F} ou P,Q,R).

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