Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
9.
C: x=2sen t, y=t, z=-2cos t, 0 ≤ t ≤ π
9.
C: x=2sen t, y=t, z=-2cos t, 0 ≤ t ≤ π
Passo 1
O enunciado fornecido diz apenas: calcular “a integral de linha” para a curva
dada por
O que falta e que é essencial para resolver qualquer integral de linha é especificar qual integral exatamente: por exemplo
- uma integral de linha do tipo escalar (primeira espécie)
, ou - uma integral de linha de campo vetorial (segunda espécie)
, ou - a integral de uma forma diferencial
.
Sem essa informação (ou sem o campo vetorial
ou a função
ou as componentes
) não há como calcular um valor numérico único da “integral de linha”. Portanto, com o enunciado do jeito que veio, não é possível obter um único resultado numérico definitivo — é preciso saber qual integrando usar.
Passo 2
Mesmo não tendo o integrando, vou te ensinar passo a passo como proceder em qualquer caso — assim, se você só esqueceu de enviar o integrando, consegue aplicar direto na prova. Primeiro, parametrize a curva em vetor posição e calcule suas derivadas (essas partes dependem só da curva, e já podemos fazer):
Defina a parametrização vetorial
Derivando componente a componente (regra básica de derivação):
Isso é útil em todas as versões de integral de linha: precisamos de
para computar
e para
.
Passo 3
Calcule o módulo da velocidade
— usado nas integrais do tipo
e também para o comprimento de arco. Faça as contas com calma:
Use a identidade trigonométrica
. Agrupando:
Portanto
Observação prática: aqui o módulo é constante ao longo da curva — isso simplifica muito integrais do tipo escalar e o cálculo do comprimento.
Passo 4
Como exemplo útil (e comum em provas), vamos calcular o comprimento da curva
, que é a integral de linha do tipo escalar com
:
Esse é um cálculo direto e frequentemente pedem isso — agora já tens o resultado e o procedimento.
Passo 5
Agora explico a fórmula geral para cada tipo de integral de linha, mostrando exatamente o que substituir (para você aplicar rapidamente no exame):
- Integral de linha escalar (primeira espécie). Dada uma função escalar
,
No nosso caso
,
e
, logo
Na prova: substitui
e resolve a integral ordinária em
.
- Integral de linha de um campo vetorial (segunda espécie). Para
,
Aqui, com
,
Na prova: plugas
e resolve a integral em
.
- Integral de forma diferencial
. Note que etc., então isso é exatamente o caso anterior:
com os mesmos
que já calculamos.
Passo 6
Para fixar com um exemplo concreto (muito útil na prova), vou calcular a integral
que é uma forma que aparece frequentemente. Observação útil: existe uma identidade prática:
Logo a integral sobre
é fácil de avaliar como integral de uma derivada exata — basta avaliar a primitiva nos extremos da curva (em termos de parâmetro
).
Calcule primeiro a combinação
ao longo da curva (peguei as expressões de
da parametrização):
Usando
,
Portanto
Então, mesmo sem o enunciado original completo, este é um exemplo concreto de integral de linha que dá um valor simples:
.
Passo 7
Resumo prático para a prova (roteiro que segue sempre):
- Identifica se a integral é do tipo
ou ou . - Escreve a parametrização
e calcula . - Se for
usa e transforma para . - Se for
substitui e integra em . - Procura identificar funções exatas ou simplificações (como no exemplo com
) que transformam a integral em uma avaliação direta.
Resposta
Não é possível calcular um valor numérico único porque o enunciado não especifica qual integral de linha (
ou
ou
).