(b) ( 1 \frac{1}{2} pontos) Com base no item anterior, justifique se a matriz A é invertível. Caso seja invertível, calcule a matrix inversa \mathrm{A}^{-1}.
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{5\times5} e pede:
Calcular \det(A).
Concluir se A é invertível e, em caso afirmativo, obter A^{-1}.
Para isso vamos usar operações elementares por linha para triangularizar A e calcular o determinante, depois aplicaremos eliminação de Gauss–Jordan em [A\mid I] para achar A^{-1}.
Passo 2
Calculamos \det(A) por operações de linha:
Troca R_1\leftrightarrow R_2 muda o sinal do determinante.
Eliminação na coluna 1, depois colunas 2 e 3, etc., leva a uma forma triangular com pivôs1,\;4,\;3,\;-1,\;2.
O produto dos pivôs vale1\cdot4\cdot3\cdot(-1)\cdot2=-24,e como fizemos uma troca de linhas,\det(A)=-(-24)=24.
Passo 3
Como \det(A)=24\neq0, a matriz A é invertível.
Passo 4
Para obter A^{-1} montamos o sistema aumentado [A\mid I] e aplicamos Gauss–Jordan. Depois de escalonar e reduzir para a forma [I\mid X], obtemos