Questão 5:
Cosidere a matriz
A=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 4 & -4 & 8 & 4 \\\\ 1 & 3 & -4 & 5 & 4 \\\\ 2 & 2 & -1 & 2 & 5 \\\\ 1 & 3 & -1 & 4 & 2 \\\\ -1 & 3 & -5 & 7 & 3 \end{array}\right)

(a) (1 ponto) Calcule o determinate da matriz A.

(b) ( 1 \frac{1}{2} pontos) Com base no item anterior, justifique se a matriz A é invertível. Caso seja invertível, calcule a matrix inversa \mathrm{A}^{-1}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{5\times5} e pede:
  1. Calcular \det(A).
  2. Concluir se A é invertível e, em caso afirmativo, obter A^{-1}.
    Para isso vamos usar operações elementares por linha para triangularizar A e calcular o determinante, depois aplicaremos eliminação de Gauss–Jordan em [A\mid I] para achar A^{-1}.

Passo 2

Calculamos \det(A) por operações de linha:
  1. Troca R_1\leftrightarrow R_2 muda o sinal do determinante.
  2. Eliminação na coluna 1, depois colunas 2 e 3, etc., leva a uma forma triangular com pivôs 1,\;4,\;3,\;-1,\;2.
  3. O produto dos pivôs vale 1\cdot4\cdot3\cdot(-1)\cdot2=-24,e como fizemos uma troca de linhas, \det(A)=-(-24)=24.

Passo 3

Como \det(A)=24\neq0, a matriz A é invertível.

Passo 4

Para obter A^{-1} montamos o sistema aumentado [A\mid I] e aplicamos Gauss–Jordan. Depois de escalonar e reduzir para a forma [I\mid X], obtemos
A^{-1} \;=\; \begin{pmatrix} \frac{5}{3} & \frac{3}{2} & -\frac{5}{6} & -1 & -\frac{13}{6} \\[6pt] -\frac{31}{12}& -1 & \frac{2}{3} & 2 & \frac{7}{3} \\[6pt] \frac{5}{12} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{6} \\[6pt] \frac{7}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -1 & -\frac{3}{2} \\[6pt] -\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

(a) \det(A)=24.
(b) \det(A)\neq0 logo A é invertível e
A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{5}{3} & \frac{3}{2} & -\frac{5}{6} & -1 & -\frac{13}{6} \\[6pt] -\frac{31}{12}& -1 & \frac{2}{3} & 2 & \frac{7}{3} \\[6pt] \frac{5}{12} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{6} \\[6pt] \frac{7}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -1 & -\frac{3}{2} \\[6pt] -\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.]

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