Questão 7. (Critério de divisibilidade por 8) Considerando um número n na base 10 possuindo representação com quatro ou mais dígitos a_{i} \in\{0,1,2, \ldots, 9\}, ou seja
n=a_{\ell} \ldots a_{3} a_{2} a_{1} a_{0}
\operatorname{com} \ell \geq 3. Mostre que neste caso vale:
(a) se 8 \mid a_{2} a_{1} a_{0} então 8 \mid n;
(b) se 8 \mid n então 8 \mid a_{2} a_{1} a_{0}
Exemplos:
(I) 8 \mid 1056 pois 8 \mid 56;
(II) 8 \nmid 1055 pois 8 \nmid 55.
(c) Perguntas: O conteúdo de (I) é um caso particular do item (a) ou do item (b)? O conteúdo de (II) é um caso particular do item (a) ou do item (b)?
Passo 1
O enunciado trata da regra de divisibilidade por 8 em base decimal. Temos um número
n = a_{\ell}a_{\ell-1}\dots a_{3}a_{2}a_{1}a_{0},\quad \ell\ge3,
e queremos mostrar que basta olhar os três últimos dígitos a_2a_1a_0. Para isso usaremos a ideia de aritmética modular, especialmente que 1000 é múltiplo de 8.
Passo 2
Escrevemos
n = \sum_{i=0}^{\ell} a_i\,10^i = \underbrace{\sum_{i=3}^{\ell}a_i\,10^i}_{\text{parte “alta”}} \;+\; \underbrace{\bigl(a_2\,10^2 + a_1\,10 + a_0\bigr)}_{\text{últimos três dígitos}}.
Como 10^3=1000 e 1000 é múltiplo de 8, cada termo a_i\,10^i com i\ge3 é múltiplo de 8. Logo a “parte alta” é divisível por 8.
Passo 3
(a) Se 8\mid a_2a_1a_0, isto é, 8\mid\bigl(a_2\,10^2+a_1\,10+a_0\bigr), então tanto essa soma quanto a parte alta são múltiplos de 8. Somando-se dois múltiplos de 8 obtemos n também múltiplo de 8. Logo 8\mid n.
Passo 4
(b) Se 8\mid n, então n é múltiplo de 8. Como a parte alta é múltipla de 8, subtraímos essa parte de n e vemos que sobra exatamente a_2\,10^2+a_1\,10+a_0. A diferença de dois múltiplos de 8 também é múltiplo de 8, assim 8\mid\bigl(a_2\,10^2+a_1\,10+a_0\bigr).
Passo 5
(c) (I) diz “8\mid1056 pois 8\mid56”. Aqui se verifica a condição do item (a): olha-se os três últimos dígitos (que valem 056=56) e conclui-se 8\mid1056.
(II) diz “8\nmid1055 pois 8\nmid55”. Aqui se usa a contrapositiva do item (b): como 8\mid1055 implicaria 8\mid055=55, mas 8\nmid55, deduz-se 8\nmid1055.