Questão 6. (Divisibilidade nos inteiros)
Determine todos os divisores de 36 .

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os divisores de 36. O conteúdo aqui é divisibilidade nos inteiros e, em particular, vamos usar o teorema fundamental da aritmética (fatoração prima) para listar todos os divisores.

Passo 2

Primeiro fazemos a fatoração prima de 36.
36 = 2 \times 18 = 2 \times (2 \times 9) = 2^2 \times 9 = 2^2 \times (3 \times 3) = 2^2 \times 3^2.

Passo 3

Qualquer divisor d de 36 deve ter a forma
d = 2^a \,3^b,
onde a e b são inteiros tais que
0 \le a \le 2 \quad\text{e}\quad 0 \le b \le 2.
Assim, a pode ser 0,1,2 e b pode ser 0,1,2, gerando 3\times3=9 possíveis divisores.

Passo 4

Agora basta listar todos os pares (a,b) e calcular 2^a3^b:
  • (a,b)=(0,0)\implies d=1
  • (a,b)=(1,0)\implies d=2
  • (a,b)=(0,1)\implies d=3
  • (a,b)=(2,0)\implies d=4
  • (a,b)=(1,1)\implies d=6
  • (a,b)=(0,2)\implies d=9
  • (a,b)=(2,1)\implies d=12
  • (a,b)=(1,2)\implies d=18
  • (a,b)=(2,2)\implies d=36

Resposta

Os divisores de 36 são
\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}.

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