Questão 1. (2.0 pontos) Considere a função de duas variáveis definida por
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
(a) f é contínua em (0,0) ? Justifique.
(b) Calcule f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede (a) verificar a continuidade em (0,0) e (b) calcular as derivadas parciais f_x(0,0) e f_y(0,0). Para (a) vamos usar o conceito de limite em várias variáveis (coordenadas polares) e para (b) a definição de derivada parcial.]

Passo 2

Para testar \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y), use coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad r\ge0.
Então, para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y) =\frac{r^{3}(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta)}{r^{2}} =r\bigl(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta\bigr).
Como \cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta é limitado (no máximo 2 em valor absoluto), temos
\lim_{r\to0}r\bigl(\cos^{3}\theta+\sin^{3}\theta\bigr)=0.

Passo 3

Como \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0), f é contínua em (0,0).

Passo 4

Por definição,
f_{x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\displaystyle\frac{h^{3}+0}{h^{2}+0}-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=1.

Passo 5

Analogamente,
f_{y}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\displaystyle\frac{0+h^{3}}{0+h^{2}}-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=1.

Resposta

(a) f é contínua em (0,0).
(b) f_{x}(0,0)=1 e f_{y}(0,0)=1.

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