Questão 2. (2.0 pontos) Considere a função
a) Determine a taxa de variação máxima de
no ponto
. Em que direção isso ocorre ?
b) No ponto
determine, se possível, um vetor unitário
tal que
. Justifique sua resposta.
b) No ponto
Passo 1
O enunciado define
e pede em (a) a taxa de variação máxima de
no ponto
e em que direção isso ocorre, e em (b) para o ponto
um vetor unitário
tal que
. Vamos usar o gradiente e a definição de derivada direcional.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Então
.
Em fica
.
Em
Passo 3
A taxa de variação máxima em
é o módulo do gradiente:
Essa variação máxima ocorre na direção do próprio gradiente normalizado:
Passo 4
Em
temos
com módulo
. Como para todo vetor unitário
vale
não é possível ter
.
Resposta
a) A taxa de variação máxima é
na direção
.
b) Não existe vetor unitário com
.
b) Não existe vetor unitário