Questão 2. (2.0 pontos) Considere a função
f(x, y)=\frac{y^{2}}{x}
a) Determine a taxa de variação máxima de f no ponto (2,4). Em que direção isso ocorre ?
b) No ponto (2,2) determine, se possível, um vetor unitário u tal que D_{u} f(2,2)=2 \sqrt{5}. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define f(x,y)=\frac{y^2}{x} e pede em (a) a taxa de variação máxima de f no ponto (2,4) e em que direção isso ocorre, e em (b) para o ponto (2,2) um vetor unitário u tal que D_{u}f(2,2)=2\sqrt{5}. Vamos usar o gradiente e a definição de derivada direcional.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{y^2}{x^2},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2y}{x}.
Então \nabla f(x,y)=\bigl(-\tfrac{y^2}{x^2},\,\tfrac{2y}{x}\bigr).
Em (2,4) fica \nabla f(2,4)=(-4,4).

Passo 3

A taxa de variação máxima em (2,4) é o módulo do gradiente:
\|\nabla f(2,4)\| =\sqrt{(-4)^2+4^2} =4\sqrt{2}.
Essa variação máxima ocorre na direção do próprio gradiente normalizado:
u=\frac{\nabla f(2,4)}{\|\nabla f(2,4)\|} =\frac{(-4,4)}{4\sqrt{2}} =\bigl(-\tfrac1{\sqrt{2}},\tfrac1{\sqrt{2}}\bigr).

Passo 4

Em (2,2) temos \nabla f(2,2)=\bigl(-\tfrac{2^2}{2^2},\,\tfrac{2\cdot2}{2}\bigr)=(-1,2) com módulo \sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5}. Como para todo vetor unitário u vale \lvert D_{u}f(2,2)\rvert =|\nabla f(2,2)\cdot u|\le\|\nabla f(2,2)\|=\sqrt{5}, não é possível ter D_{u}f(2,2)=2\sqrt{5}>\sqrt{5}.

Resposta

a) A taxa de variação máxima é 4\sqrt{2} na direção \bigl(-\tfrac1{\sqrt{2}},\tfrac1{\sqrt{2}}\bigr).
b) Não existe vetor unitário u com D_{u}f(2,2)=2\sqrt{5}.

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