Questão 1. A curva dada por x=t^4-4 t^3, y=t^3+2 tem quantas retas tangentes paralelas à reta y=x ?
a mais do que quatro
b quatro
c duas

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica
x(t)=t^4-4t^3, y(t)=t^3+2
e pede o número de retas tangentes paralelas à reta y=x.
Para isso vamos usar cálculo de derivadas em parametrização: a inclinação da tangente é
dydx=dydtdxdt,
e imporemos dydx=1.

Passo 2

Calculemos as derivadas em relação a t:
dydt=3t^2,
dxdt=4t^3-12t^2=4t^2(t-3)
Logo a inclinação da tangente é
dydx =3t^24t^2(t-3) =34(t-3),
para tneq0.

Passo 3

Queremos dydx=1, isto é,
3t^24t^2(t-3)=1 Longrightarrow 3t^2=4t^2(t-3) Longrightarrow t^2(4t-15)=0
Daí surgem as soluções
t=0 e t=tfrac154

Passo 4

Cada valor de t resolve a condição de inclinação igual a 1, produzindo duas retas tangentes paralelas a y=x.

Resposta

c duas

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