Calcule as integrais iteradas.
int-2^0 integral-1^2(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada sobre o retângulo R = (x,y)mid -1 <= x <= 2,,-2 <= y <= 0 da função f(x,y)=x^2+y^2.
O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini para regiões retangulares, integrando primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Vamos fazer a integral interna em x:
integral-1^2l(x^2+y^2r),dx =integral-1^2x^2,dx+integral-1^2y^2,dx
Como integral-1^2x^2,dx=l[tfracx^33r]-1^2 =tfrac83-l(-tfrac13r)=3
e y^2 é constante em x, temos
integral-1^2y^2,dx=y^2,(2-(-1))=3y^2
Logo a integral interna vale
3+3y^2

Passo 3

Agora integramos esse resultado em y:
integral-2^0l(3+3y^2r),dy =integral-2^03,dy+integral-2^03y^2,dy
Calculando cada parte:
integral-2^03,dy=3l[yr]-2^0=3(0-(-2))=6,
integral-2^03y^2,dy =3l[tfracy^33r]-2^0 =[y^3]-2^0=0-(-8)=8
Somando, obtemos 6+8=14.

Resposta

O valor da integral iterada é 14.

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