Use o método dos discos para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo x. Esboce a região, o sólido e um disco típico.
y=x, y=x^2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pelas curvas y=x e y=x^2. O conteúdo aqui é o método dos discos (ou anéis), em que usamos a fórmula
V = integrala^b pil(R(x)^2 - r(x)^2r),dx,
onde R(x) é o raio externo e r(x) o raio interno do disco. Precisamos:
  1. Determinar os pontos de interseção para achar a e b.
  2. Ver qual curva fica acima em cada x (para identificar R e r).
  3. Montar e calcular o integral.

Passo 2

Para achar os limites de integração, resolvemos
x = x^2
x^2 - x = 0
x(x-1)=0
Logo os pontos de interseção são x=0 e x=1. Portanto vamos integrar de a=0 até b=1.

Passo 3

No intervalo [0,1] temos para cada x
- y=x fica acima de y=x^2, ou seja, x >= x^2.
- Ao girar em torno de x, o segmento vertical entre y=x^2 e y=x gera um anel (disco com furo).
O raio externo do anel é
R(x)=ysuperior=x,
o raio interno é
r(x)=yinferior=x^2
Um disco típico temos área
A(x)=pil(R(x)^2 - r(x)^2r) =pil(x^2 - (x^2)^2r) =pil(x^2 - x^4r)

Passo 4

O volume é a integral da área do disco ao longo de xin[0,1]:
V = integral0^1 pil(x^2 - x^4r),dx

Passo 5

Calculando o integral:
integral0^1 x^2,dx = [x^33]0^1 = 13,
integral0^1 x^4,dx = [x^55]0^1 = 15
Logo
V = pil(tfrac13 - tfrac15r) =pil(tfrac5-315r) =2pi15

Resposta

V = 2pi15

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