Use o método dos discos para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo
. Esboce a região, o sólido e um disco típico.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pelas curvas
e
. O conteúdo aqui é o método dos discos (ou anéis), em que usamos a fórmula
onde
é o raio externo e
o raio interno do disco. Precisamos:
- Determinar os pontos de interseção para achar
e . - Ver qual curva fica acima em cada
(para identificar e ). - Montar e calcular o integral.
Passo 2
Para achar os limites de integração, resolvemos
Logo os pontos de interseção são
e
. Portanto vamos integrar de
até
.
Passo 3
No intervalo
temos para cada
- fica acima de
, ou seja,
.
- Ao girar em torno de , o segmento vertical entre
e
gera um anel (disco com furo).
O raio externo do anel é
-
- Ao girar em torno de
O raio externo do anel é
o raio interno é
Um disco típico temos área
Passo 4
O volume é a integral da área do disco ao longo de
:
Passo 5
Calculando o integral:
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