é a transformada de Laplace da função
, é possível mostrar que
Use esse fato para determinar
, onde
é a solução do problema de valor inicial dado
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação é $ y’’ - t y = 0 $ com condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Nosso objetivo é encontrar $ Y(s) = \mathcal{L}{\phi(t)} $, onde $ \phi(t) $ é a solução dessa equação. Para resolver isso, vamos usar propriedades da Transformada de Laplace, especialmente aquela que relaciona a derivada da transformada com a função original.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que $ \mathcal{L}{y’’(t)} = s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $. Então, transformando $ y’’ - t y = 0 $, temos:
Substituindo pela fórmula da derivada da transformada:
Passo 3
Agora, precisamos lidar com $ \mathcal{L}{t y(t)} $. Segundo o enunciado, sabemos que:
Comparando com o nosso caso, temos $ f(t) = y(t) $, então:
Substituindo isso na equação anterior:
Passo 4
Agora, vamos inserir os valores das condições iniciais. Sabemos que $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para $ Y(s) $. Para resolver, vamos usar o fator integrante. O fator é:
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ s $:
Para resolver a integral, faremos uma substituição $ u = \frac{s^3}{3} $, então $ du = s^2 ds $. Mas aqui temos $ s e^{u} ds $, que não se integra diretamente, então deixamos a integral representada assim mesmo:
Passo 7
Finalmente, isolamos $ Y(s) $:
Como não temos condições adicionais para determinar a constante $ C $, deixamos a solução em termos de uma integral indefinida.