Se F(s)=Lf(t) é a transformada de Laplace da função f(t), é possível mostrar que
F^prime(s)=L-t cdot f(t)
Use esse fato para determinar Y(s)=Lphi(t), onde y=phi(t) é a solução do problema de valor inicial dado
y^prime prime-t y=0 ; y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação é $ y’’ - t y = 0 $ com condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Nosso objetivo é encontrar $ Y(s) = \mathcal{L}{\phi(t)} $, onde $ \phi(t) $ é a solução dessa equação. Para resolver isso, vamos usar propriedades da Transformada de Laplace, especialmente aquela que relaciona a derivada da transformada com a função original.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que $ \mathcal{L}{y’’(t)} = s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $. Então, transformando $ y’’ - t y = 0 $, temos:
Ly''(t) = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Substituindo pela fórmula da derivada da transformada:
y'' - t y = 0

Passo 3

Agora, precisamos lidar com $ \mathcal{L}{t y(t)} $. Segundo o enunciado, sabemos que:
Lt y(t)
Comparando com o nosso caso, temos $ f(t) = y(t) $, então:
F'(s) = L-t f(t)
Substituindo isso na equação anterior:
f(t) = y(t)

Passo 4

Agora, vamos inserir os valores das condições iniciais. Sabemos que $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Substituindo:
y(0) = 1
Simplificando:
y'(0) = 0

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para $ Y(s) $. Para resolver, vamos usar o fator integrante. O fator é:
Y(s)
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
mu(s) = e^integral s^2 ds = e^s^33
Isso simplifica para:
e^s^33 Y'(s) + s^2 e^s^33 Y(s) = s e^s^33

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ s $:
s
Para resolver a integral, faremos uma substituição $ u = \frac{s^3}{3} $, então $ du = s^2 ds $. Mas aqui temos $ s e^{u} ds $, que não se integra diretamente, então deixamos a integral representada assim mesmo:
Y(s) e^s^33 = integral s e^s^33 ds + C

Passo 7

Finalmente, isolamos $ Y(s) $:
Y(s)
Como não temos condições adicionais para determinar a constante $ C $, deixamos a solução em termos de uma integral indefinida.

Resposta

Y(s) = e^-s^33 ( integral s e^s^33 ds + C )

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