QUESTÃO 3: Dada a equação diferencial
\left(3 x^{4}-3 x^{2} y^{2}+2 x^{3} y \ln y\right) d x+\left(-6 x^{3} y+x^{4} \ln y+x^{4}\right) d y=0
(a) Mostre que a equação dada não é exata.
(b) Mostre que a função \mu(x)=x^{-2} é um fator integrante que torna a equação exata.
(c) Multiplique a equação dada pelo fator integrante do item (b) e resolva-a.

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado pede e quais são as informações dadas.
  • A equação diferencial dada é
\left(3 x^{4}-3 x^{2} y^{2}+2 x^{3} y \ln y\right) d x+\left(-6 x^{3} y+x^{4} \ln y+x^{4}\right) d y=0.
  • Identifico as funções multiplicadoras dos diferenciais:
M(x,y)=3 x^{4}-3 x^{2} y^{2}+2 x^{3} y \ln y, \qquad N(x,y)=-6 x^{3} y+x^{4} \ln y+x^{4}.
  • O enunciado pede:
    (a) Mostrar que a equação não é exata.
    (b) Mostrar que \mu(x)=x^{-2} é um fator integrante que torna a equação exata.
    (c) Multiplicar pela fator integrante do item (b) e resolver a equação resultante.
Não vou resolver nada ainda; só organizei o que temos e o que é pedido.

Passo 2

Conceito importante (mini-aula): uma equação na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N.
Um teste prático: se M e N são continuamente diferenciáveis num domínio, a equação é exata se e somente se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vou aplicar esse teste para responder o item (a).
Calculemos \dfrac{\partial M}{\partial y}. Lembre que para derivar y\ln y usamos a regra do produto: \dfrac{d}{dy}(y\ln y)=\ln y+1.
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(3 x^{4}\big) +\frac{\partial}{\partial y}\big(-3 x^{2} y^{2}\big) +\frac{\partial}{\partial y}\big(2 x^{3} y \ln y\big).
Termo a termo:
\frac{\partial}{\partial y}\big(3 x^{4}\big)=0,
\frac{\partial}{\partial y}\big(-3 x^{2} y^{2}\big)=-6 x^{2} y,
\frac{\partial}{\partial y}\big(2 x^{3} y \ln y\big)=2 x^{3}(\ln y+1)=2 x^{3}\ln y+2 x^{3}.
Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}=-6 x^{2} y+2 x^{3}\ln y+2 x^{3}.
Agora calculemos \dfrac{\partial N}{\partial x}:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(-6 x^{3} y\big) +\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4}\ln y\big) +\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4}\big).
Termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}\big(-6 x^{3} y\big)=-18 x^{2} y,
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4}\ln y\big)=4 x^{3}\ln y\quad(\ln y\\ \text{é constante em relação a}\\ x),éçã
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4}\big)=4 x^{3}.
Logo
\frac{\partial N}{\partial x}=-18 x^{2} y+4 x^{3}\ln y+4 x^{3}.
Compare:
\frac{\partial M}{\partial y}=-6 x^{2} y+2 x^{3}\ln y+2 x^{3},
\frac{\partial N}{\partial x}=-18 x^{2} y+4 x^{3}\ln y+4 x^{3}.
Elas não são iguais (por exemplo os coeficientes de x^{2}y são diferentes). Portanto a equação não é exata. Isso responde o item (a).

Passo 3

Mini-aula sobre fator integrante dependente só de x: se existe um fator integrante \mu(x) (função só de x) tal que \mu(x)M\,dx+\mu(x)N\,dy seja exata, então uma fórmula prática é
\frac{d}{dx}\big(\ln \mu(x)\big)=\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N},
desde que o lado direito dependa somente de x. Outra forma equivalente usada por muitos livros é testar se \dfrac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} é função só de x; se for, integrar essa função dá \ln\mu(x).
Vou calcular essa fração para verificar se ela depende somente de x, e então obter \mu(x).

Passo 4

Calculemos \dfrac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}. Já temos \partial M/\partial y e \partial N/\partial x; subtraindo:
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} = (-6 x^{2} y+2 x^{3}\ln y+2 x^{3}) - (-18 x^{2} y+4 x^{3}\ln y+4 x^{3}).
Agrupando termos:
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} =12 x^{2} y -2 x^{3}\ln y -2 x^{3} =2 x^{2}\big(6 y - x\ln y - x\big).
E N(x,y)=-6 x^{3} y+x^{4}\ln y+x^{4}=x^{3}\big(-6 y + x\ln y + x\big). Então
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{2 x^{2}\big(6 y - x\ln y - x\big)}{x^{3}\big(-6 y + x\ln y + x\big)}.
Note que \big(6 y - x\ln y - x\big)= -\big(-6 y + x\ln y + x\big). Cancelando esse fator obtemos
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{2 x^{2}(-1)}{x^{3}}=-\frac{2}{x}.
Este resultado depende apenas de x! Ótimo — isso garante que existe um fator integrante dependente só de x.

Passo 5

Agora encontramos \mu(x) resolvendo
\frac{d}{dx}\big(\ln \mu(x)\big)=-\frac{2}{x}.
Integramos em x:
\ln \mu(x)=\int -\frac{2}{x}\,dx = -2\ln x + C.
Assim
\mu(x)=e^{C}x^{-2}=C' x^{-2}.
Como fator integrante pode ser multiplicado por constante sem alterar a condição de exatidão, escolhemos a forma simples
\mu(x)=x^{-2}.
Isso responde o item (b).

Passo 6

Multiplique a equação original por \mu(x)=x^{-2}. Os novos coeficientes são
\tilde M(x,y)=x^{-2}M(x,y)=3x^{2}-3y^{2}+2 x y\ln y,
\tilde N(x,y)=x^{-2}N(x,y)=-6 x y + x^{2}\ln y + x^{2}.
(Fiz as multiplicações termo a termo: por exemplo x^{-2}\cdot 2 x^{3} y\ln y = 2 x y\ln y.)
Vou verificar rapidamente que a equação multiplicada é exata, calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}) + \frac{\partial}{\partial y}(-3y^{2}) + \frac{\partial}{\partial y}(2 x y\ln y) = 0 -6y + 2x(\ln y +1) = -6y + 2x\ln y + 2x.
\frac{\partial \tilde N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-6 x y) + \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}\ln y) + \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) = -6y + 2x\ln y + 2x.
Como \dfrac{\partial \tilde M}{\partial y}=\dfrac{\partial \tilde N}{\partial x}, a equação
\tilde M\,dx + \tilde N\,dy = 0
é exata.

Passo 7

Resolver a equação exata: existe \Psi(x,y) tal que \Psi_x=\tilde M e \Psi_y=\tilde N. Integro \tilde M em relação a x (tratando y como constante) para obter \Psi até uma função desconhecida de y.
\Psi(x,y)=\int \tilde M(x,y)\,dx =\int \big(3x^{2}-3y^{2}+2 x y\ln y\big)\,dx.
Integração termo a termo:
\int 3x^{2}\,dx = x^{3}, \qquad \int -3y^{2}\,dx = -3 x y^{2},
\int 2 x y\ln y\,dx = 2 y\ln y\int x\,dx = 2 y\ln y\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2} y\ln y.
Portanto
\Psi(x,y)=x^{3}-3 x y^{2}+x^{2} y\ln y + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 8

Agora imposto que \Psi_y=\tilde N. Calcule \Psi_y:
\frac{\partial \Psi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}\big) +\frac{\partial}{\partial y}\big(-3 x y^{2}\big) +\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2} y\ln y\big) + h'(y).
Termo a termo:
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}\big)=0, \quad \frac{\partial}{\partial y}\big(-3 x y^{2}\big)=-6 x y,
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2} y\ln y\big)=x^{2}(\ln y+1)=x^{2}\ln y + x^{2}.
Então
\frac{\partial \Psi}{\partial y}=-6 x y + x^{2}\ln y + x^{2} + h'(y).
Mas \Psi_y deve ser igual a \tilde N=-6 x y + x^{2}\ln y + x^{2}. Comparando, obtemos h'(y)=0, logo h(y)=C constante.
Assim a função potencial é
\Psi(x,y)=x^{3}-3 x y^{2}+x^{2} y\ln y + C.
A solução geral implícita da equação diferencial (após multiplicar pelo fator integrante) é \Psi(x,y)=\text{constante}, ou seja
x^{3}-3 x y^{2}+x^{2} y\ln y = C.

Passo 9

Recapitulando brevemente (para fixar a ideia):
  • Mostramos que a equação original não era exata porque \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x.
  • Verificamos que \dfrac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}=-\dfrac{2}{x}, que depende só de x, o que leva a \mu(x)=x^{-2}.
  • Multiplicando por \mu obtemos uma equação exata e encontramos a solução implícita
    \,x^{3}-3 x y^{2}+x^{2} y\ln y=C.
Força aí — dá pra entender este procedimento na prova: testar exatidão, procurar fator integrante que dependa só de x (ou só de y), multiplicar e integrar. Vai dar certo.

Resposta

(a) A equação não é exata.
(b) \mu(x)=x^{-2}.
(c) x^{3}-3 x y^{2}+x^{2} y\ln y=C.

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