QUESTÃO 3: Dada a equação diferencial
(a) Mostre que a equação dada não é exata.
(b) Mostre que a função
é um fator integrante que torna a equação exata.
(c) Multiplique a equação dada pelo fator integrante do item (b) e resolva-a.
(b) Mostre que a função
(c) Multiplique a equação dada pelo fator integrante do item (b) e resolva-a.
Passo 1
Vou organizar direitinho o que o enunciado pede e quais são as informações dadas.
- A equação diferencial dada é
- Identifico as funções multiplicadoras dos diferenciais:
- O enunciado pede:
(a) Mostrar que a equação não é exata.
(b) Mostrar queé um fator integrante que torna a equação exata.
(c) Multiplicar pela fator integrante do item (b) e resolver a equação resultante.
Não vou resolver nada ainda; só organizei o que temos e o que é pedido.
Passo 2
Conceito importante (mini-aula): uma equação na forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
Um teste prático: se
e
são continuamente diferenciáveis num domínio, a equação é exata se e somente se
Vou aplicar esse teste para responder o item (a).
Calculemos
. Lembre que para derivar
usamos a regra do produto:
.
Termo a termo:
Portanto
Agora calculemos
:
Termo a termo:
Logo
Compare:
Elas não são iguais (por exemplo os coeficientes de
são diferentes). Portanto a equação não é exata. Isso responde o item (a).
Passo 3
Mini-aula sobre fator integrante dependente só de
: se existe um fator integrante
(função só de
) tal que
seja exata, então uma fórmula prática é
desde que o lado direito dependa somente de
. Outra forma equivalente usada por muitos livros é testar se
é função só de
; se for, integrar essa função dá
.
Vou calcular essa fração para verificar se ela depende somente de
, e então obter
.
Passo 4
Calculemos
. Já temos
e
; subtraindo:
Agrupando termos:
E
. Então
Note que
. Cancelando esse fator obtemos
Este resultado depende apenas de
! Ótimo — isso garante que existe um fator integrante dependente só de
.
Passo 5
Agora encontramos
resolvendo
Integramos em
:
Assim
Como fator integrante pode ser multiplicado por constante sem alterar a condição de exatidão, escolhemos a forma simples
Isso responde o item (b).
Passo 6
Multiplique a equação original por
. Os novos coeficientes são
(Fiz as multiplicações termo a termo: por exemplo
.)
Vou verificar rapidamente que a equação multiplicada é exata, calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação
é exata.
Passo 7
Resolver a equação exata: existe
tal que
e
. Integro
em relação a
(tratando
como constante) para obter
até uma função desconhecida de
.
Integração termo a termo:
Portanto
onde
é uma função de
a determinar.
Passo 8
Agora imposto que
. Calcule
:
Termo a termo:
Então
Mas
deve ser igual a
. Comparando, obtemos
, logo
constante.
Assim a função potencial é
A solução geral implícita da equação diferencial (após multiplicar pelo fator integrante) é
, ou seja
Passo 9
Recapitulando brevemente (para fixar a ideia):
- Mostramos que a equação original não era exata porque
. - Verificamos que
, que depende só de , o que leva a . - Multiplicando por
obtemos uma equação exata e encontramos a solução implícita
.
Força aí — dá pra entender este procedimento na prova: testar exatidão, procurar fator integrante que dependa só de
(ou só de
), multiplicar e integrar. Vai dar certo.
Resposta
(a) A equação não é exata.
(b) .
(c) .
(b)
(c)