QUESTÃO 4: Escreva a solução do problema de valor inicial dado por
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e .
O que o problema pede: encontrar a funçãoque satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Ideia de solução (explicação didática do método que vamos usar).
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes do tipo dado, procura-se soluções da forma exponencial . Isso porque derivar
apenas multiplica por
, então ao substituir na equação diferencial obtém-se uma equação algébrica para
(chamada equação característica). Explico passo a passo:
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes do tipo dado, procura-se soluções da forma exponencial
- Se
então e . - Substituindo esses em
e dividindo por (não zero) obtemos a equação característica para .
Passo 3
Formação e resolução da equação característica.
Substituindo obtemos:
Substituindo
Esta é uma quadrática. Vamos resolvê-la usando fatoração ou fórmula de Bhaskara. Aqui fatoramos: procuramos dois números cujo produto seja
e soma seja
. Esses números são
e
. Assim:
Portanto as raízes são
e
.
Passo 4
Construção da solução geral a partir das raízes distintas.
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas e
, as funções
e
são soluções independentes, e a solução geral da equação diferencial homogênea é:
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
No nosso caso
e
, então a solução geral é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Aplicar a primeira condição inicial
.
Calculamos a partir da solução geral:
Calculamos
A condição diz que
, então
Dessa relação segue que
Passo 6
Aplicar a segunda condição inicial
.
Primeiro derivamos :
Primeiro derivamos
Avaliaremos em
:
A condição impõe
, logo
Substituindo
na equação acima:
Assim
E portanto
Passo 7
Verificação rápida (confiança no resultado).
Com e
as condições iniciais ficam satisfeitas:
Com
-
. -
.
Tudo consistente.