QUESTÃO 4: Escreva a solução do problema de valor inicial dado por
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-10 y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
  • Equação diferencial: y^{\prime\prime}-3y^{\prime}-10y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=0 e y^{\prime}(0)=1.
    O que o problema pede: encontrar a função y(t) que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Ideia de solução (explicação didática do método que vamos usar).
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes do tipo dado, procura-se soluções da forma exponencial y(t)=e^{r t}. Isso porque derivar e^{r t} apenas multiplica por r, então ao substituir na equação diferencial obtém-se uma equação algébrica para r (chamada equação característica). Explico passo a passo:
  • Se y(t)=e^{r t} então y^{\prime}(t)=r e^{r t} e y^{\prime\prime}(t)=r^{2} e^{r t}.
  • Substituindo esses em y^{\prime\prime}-3y^{\prime}-10y=0 e dividindo por e^{r t} (não zero) obtemos a equação característica para r.

Passo 3

Formação e resolução da equação característica.
Substituindo y=e^{r t} obtemos:
r^{2}-3r-10=0.
Esta é uma quadrática. Vamos resolvê-la usando fatoração ou fórmula de Bhaskara. Aqui fatoramos: procuramos dois números cujo produto seja -10 e soma seja -3. Esses números são -5 e 2. Assim:
r^{2}-3r-10=(r-5)(r+2)=0.
Portanto as raízes são r=5 e r=-2.

Passo 4

Construção da solução geral a partir das raízes distintas.
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, as funções e^{r_{1}t} e e^{r_{2}t} são soluções independentes, e a solução geral da equação diferencial homogênea é:
y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}.
No nosso caso r_{1}=5 e r_{2}=-2, então a solução geral é
y(t)=C_{1}e^{5t}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Aplicar a primeira condição inicial y(0)=0.
Calculamos y(0) a partir da solução geral:
y(0)=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}=C_{1}+C_{2}.
A condição diz que y(0)=0, então
C_{1}+C_{2}=0.
Dessa relação segue que
C_{2}=-C_{1}.

Passo 6

Aplicar a segunda condição inicial y^{\prime}(0)=1.
Primeiro derivamos y(t):
y^{\prime}(t)=5C_{1}e^{5t}-2C_{2}e^{-2t}.
Avaliaremos em t=0:
y^{\prime}(0)=5C_{1}-2C_{2}.
A condição impõe y^{\prime}(0)=1, logo
5C_{1}-2C_{2}=1.
Substituindo C_{2}=-C_{1} na equação acima:
5C_{1}-2(-C_{1})=5C_{1}+2C_{1}=7C_{1}=1.
Assim
C_{1}=\frac{1}{7}.
E portanto
C_{2}=-\frac{1}{7}.

Passo 7

Verificação rápida (confiança no resultado).
Com C_{1}=\dfrac{1}{7} e C_{2}=-\dfrac{1}{7} as condições iniciais ficam satisfeitas:
  • y(0)=\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{7}=0.
  • y^{\prime}(0)=5\cdot\dfrac{1}{7}-2\cdot\left(-\dfrac{1}{7}\right)=\dfrac{5}{7}+\dfrac{2}{7}=\dfrac{7}{7}=1.
    Tudo consistente.

Resposta

y(t)=\dfrac{1}{7}\bigl(e^{5t}-e^{-2t}\bigr)

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