Verifique se a função dada é contínua para o valor de .
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar se f é contínua em x=-2. Logo, vamos precisar checar (i) se f(-2) está bem-definido, (ii) o limite lateral à esquerda limxto -2^-f(x) e (iii) o limite lateral à direita limxto -2^+f(x).]
Passo 2
Primeiro, avaliamos f(-2). Como -2<-1, utiliza-se a primeira definição:
f(-2)=(-2)^2-1-2+2=4-10=30,
que é indefinido (divisão por zero). Portanto f(-2) não existe, logo f já não pode ser contínua em -2.
Passo 3
Para confirmar a natureza da descontinuidade, calculemos os limites laterais usando a mesma expressão x^2-1x+2.
Fatorando x^2-1=(x-1)(x+1), temos
f(x)=(x-1)(x+1)x+2
Passo 4
Lado esquerdo (xto-2^-): para x<-2 o numerador (x-1)(x+1) é positivo e o denominador x+2 é negativo, então
limxto -2^-f(x)=-infty
Passo 5
Lado direito (xto-2^+): para -2<x<-1 o numerador continua positivo, mas agora x+2>0, logo
limxto -2^+f(x)=+infty
Resposta
A função f não é contínua em x=-2 (ela nem está definida aí e, além disso, os limites laterais divergem para sinais opostos).