Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=raizx no ponto x=4. Utilize a equação da reta tangente obtida para calcular o valor aproximado de raiz4,1.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=raizx no ponto de abscissa x=4 e, em seguida, usar essa reta para aproximar raiz4,1. Vamos usar a derivada de f (para obter o coeficiente angular da reta) e a fórmula ponto-inclinação.

Passo 2

Calculamos a derivada de f(x)=raizx=x^1/2 pelo regra de potência:
f'(x)=12x^-1/2=12raizx

Passo 3

Avaliaremos a derivada em x=4:
f'(4)=12raiz4=12cdot2=14
Logo, a inclinação da reta tangente é m=tfrac14.

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação da reta em (x0,y0)=(4,f(4)). Como f(4)=raiz4=2, temos
y-2=14(x-4)
Desenvolvendo,
y=14x-1+2=14x+1

Passo 5

Para aproximar raiz4,1 usamos x=4,1 na reta tangente:
yapprox 14cdot4,1+1=1,025+1=2,025
Portanto, raiz4,1approx2,025.

Resposta

Equação da reta tangente:
y=14x+1
Aproximação de raiz4,1:
raiz4,1approx2,025

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