Questão 4. Dada f(x, y)=x^{2} y-x^{2}+y^{2}, onde x=r \cos \theta e y \Rightarrow r \operatorname{sen} \theta, encontre uma expressão simplificada para r \frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial \theta}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}y-x^{2}+y^{2} e as mudanças de coordenadas x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
Pede-se uma expressão simplificada para
r\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial \theta}.
Informações relevantes dadas:
  • f está originalmente em termos de x e y.
  • Foi fornecida a transformação para coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.
  • A quantidade a calcular envolve derivadas parciais de f em relação a r e \theta (função vista como f(r,\theta) após substituição).

Passo 2

Primeiro vamos reescrever f em coordenadas polares substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Isso facilita calcular \partial f/\partial r e \partial f/\partial\theta diretamente.
Substituindo termo a termo:
x^{2}y = (r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)=r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta,
-x^{2} = -(r\cos\theta)^{2} = -r^{2}\cos^{2}\theta,
y^{2} = (r\sin\theta)^{2} = r^{2}\sin^{2}\theta.
Portanto
f(r,\theta)=r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta + r^{2}(\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta).

Passo 3

Agora calculemos \partial f/\partial r. Tratamos \theta como constante e usamos a regra do poder para r.
Para o primeiro termo r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta a derivada em r é 3r^{2}\cos^{2}\theta\sin\theta.
Para o segundo termo r^{2}(\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta) a derivada é 2r(\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta).
Então
\frac{\partial f}{\partial r}=3r^{2}\cos^{2}\theta\sin\theta + 2r(\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta).
Multiplicando por r (pois precisamos de r\frac{\partial f}{\partial r}):
r\frac{\partial f}{\partial r}=3r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta + 2r^{2}(\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta).

Passo 4

Agora calculemos \partial f/\partial\theta. Aqui r é tratado como constante e usamos a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas.
Começamos derivando o primeiro termo r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta em \theta. Como r^{3} é constante, derivamos g(\theta)=\cos^{2}\theta\sin\theta:
  • \dfrac{d}{d\theta}(\cos^{2}\theta)=2\cos\theta\cdot(-\sin\theta)=-2\cos\theta\sin\theta.
    Usamos o produto: \dfrac{d}{d\theta}(\cos^{2}\theta\sin\theta) = (\dfrac{d}{d\theta}\cos^{2}\theta)\sin\theta + \cos^{2}\theta\cos\theta.
    Portanto
\frac{d}{d\theta}(\cos^{2}\theta\sin\theta) = -2\cos\theta\sin^{2}\theta + \cos^{3}\theta.
Multiplicando por r^{3} obtemos a contribuição do primeiro termo:
r^{3}\big(\cos^{3}\theta - 2\cos\theta\sin^{2}\theta\big).
Derivando o segundo termo r^{2}(\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta) em \theta:
\frac{d}{d\theta}(\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta) = 2\sin\theta\cos\theta + 2\sin\theta\cos\theta = 4\sin\theta\cos\theta,
logo a contribuição é
r^{2}\cdot 4\sin\theta\cos\theta.
Somando as contribuições:
\frac{\partial f}{\partial\theta}=r^{3}\big(\cos^{3}\theta - 2\cos\theta\sin^{2}\theta\big) + 4r^{2}\sin\theta\cos\theta.

Passo 5

Somamos agora r\frac{\partial f}{\partial r} e \frac{\partial f}{\partial\theta}.
Lembrando:
r\frac{\partial f}{\partial r}=3r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta + 2r^{2}(\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta),
\frac{\partial f}{\partial\theta}=r^{3}\big(\cos^{3}\theta - 2\cos\theta\sin^{2}\theta\big) + 4r^{2}\sin\theta\cos\theta.
Somando termo a termo (agrupando em potências de r):
  • Coeficientes em r^{3}: 3\cos^{2}\theta\sin\theta + \cos^{3}\theta - 2\cos\theta\sin^{2}\theta. Fatorando \cos\theta obtemos
r^{3}\cos\theta\big(\cos^{2}\theta + 3\cos\theta\sin\theta - 2\sin^{2}\theta\big).
  • Coeficientes em r^{2}: 2(\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta) + 4\sin\theta\cos\theta = 2\big(\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta + 2\sin\theta\cos\theta\big).
Portanto uma forma simplificada é
r\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial\theta} = r^{3}\cos\theta\big(\cos^{2}\theta + 3\cos\theta\sin\theta - 2\sin^{2}\theta\big) + 2r^{2}\big(\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta + 2\sin\theta\cos\theta\big).

Passo 6

Podemos também reescrever a parte em \sin^{2}\theta,\cos^{2}\theta,\sin\theta\cos\theta usando identidades de ângulo duplo para compactar um pouco:
Usando \sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta = -\cos 2\theta e 2\sin\theta\cos\theta=\sin 2\theta, a parte 2r^{2}(\cdots) fica
2r^{2}\big(-\cos 2\theta + \sin 2\theta\big).
Também, com manipulação trigonométrica, a parte em r^{3} pode ser escrita como
\frac{r^{3}\cos\theta}{2}\big(-1 + 3\cos 2\theta + 3\sin 2\theta\big),
mas essa forma é apenas uma reescrita; ambas são equivalentes.
Assim, uma forma compacta final é
r\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial\theta} = \frac{r^{3}\cos\theta}{2}\big(-1 + 3\cos 2\theta + 3\sin 2\theta\big) + 2r^{2}\big(-\cos 2\theta + \sin 2\theta\big).

Resposta

r\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial\theta} = r^{3}\cos\theta\big(\cos^{2}\theta + 3\cos\theta\sin\theta - 2\sin^{2}\theta\big) + 2r^{2}\big(\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta + 2\sin\theta\cos\theta\big).

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