Questão 4. Dada
, onde
e
, encontre uma expressão simplificada para
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e as mudanças de coordenadas
e
.
Pede-se uma expressão simplificada para
Pede-se uma expressão simplificada para
Informações relevantes dadas:
-
está originalmente em termos de e . - Foi fornecida a transformação para coordenadas polares:
, . - A quantidade a calcular envolve derivadas parciais de
em relação a e (função vista como após substituição).
Passo 2
Primeiro vamos reescrever
em coordenadas polares substituindo
e
. Isso facilita calcular
e
diretamente.
Substituindo termo a termo:
Portanto
Passo 3
Agora calculemos
. Tratamos
como constante e usamos a regra do poder para
.
Para o primeiro termo
a derivada em
é
.
Para o segundo termo a derivada é
.
Para o segundo termo
Então
Multiplicando por
(pois precisamos de
):
Passo 4
Agora calculemos
. Aqui
é tratado como constante e usamos a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas.
Começamos derivando o primeiro termo
em
. Como
é constante, derivamos
:
-
.
Usamos o produto:.
Portanto
Multiplicando por
obtemos a contribuição do primeiro termo:
Derivando o segundo termo
em
:
logo a contribuição é
Somando as contribuições:
Passo 5
Somamos agora
e
.
Lembrando:
Somando termo a termo (agrupando em potências de
):
- Coeficientes em
: . Fatorando obtemos
- Coeficientes em
: .
Portanto uma forma simplificada é
Passo 6
Podemos também reescrever a parte em
usando identidades de ângulo duplo para compactar um pouco:
Usando
e
, a parte
fica
Também, com manipulação trigonométrica, a parte em
pode ser escrita como
mas essa forma é apenas uma reescrita; ambas são equivalentes.
Assim, uma forma compacta final é