Determine a derivada direcional de
no ponto
, na direção indicada.
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado fornece a função
, o ponto
e o vetor de direção
.
A pergunta é: determinar a derivada direcional de no ponto
na direção indicada por
.
A pergunta é: determinar a derivada direcional de
Passo 2
Primeiro, a ideia que vamos usar (explicada de forma simples): a derivada direcional de
no ponto
na direção de um vetor unitário
é o produto escalar entre o gradiente de
em
e
. Escrevendo a fórmula:
Aqui
é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
avaliadas em
, e
é o vetor de direção normalizado (unitário). Em palavras: primeiro achamos as derivadas parciais para montar o gradiente; depois normalizamos
para obter
; por fim fazemos o produto escalar.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Lembre que, para derivar em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes e usamos a regra da cadeia quando necessário.
Derivada parcial em relação a
:
porque
.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
pois
é constante quando derivamos em relação a
.
Portanto, o gradiente simbólico é
Passo 4
Agora avaliamos o gradiente em
. Primeiro calculemos os termos básicos:
, logo
. Também
.
Avaliações:
Portanto
Passo 5
Precisamos da direção unitária
obtida normalizando
. Calculemos a norma de
:
Logo a unidade é
Passo 6
Agora fazemos o produto escalar
:
Fatorando
:
Calculemos a soma entre parênteses:
, então
. Assim
Podemos racionalizar/ simplificar a fração
. Multiplicando numerador e denominador por
obtemos
Portanto outra forma equivalente é