Determine a derivada direcional de f no ponto P, na direção indicada.
(f) f(x, y, z)=z^{2} e^{x y}, P=(-1,2,3), \vec{v}=(3,1,-5)

Passo 1

O enunciado fornece a função \displaystyle f(x,y,z)=z^{2}e^{xy}, o ponto P=(-1,2,3) e o vetor de direção \displaystyle \vec{v}=(3,1,-5).
A pergunta é: determinar a derivada direcional de f no ponto P na direção indicada por \vec{v}.

Passo 2

Primeiro, a ideia que vamos usar (explicada de forma simples): a derivada direcional de f no ponto P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente de f em P e \mathbf{u}. Escrevendo a fórmula:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
Aqui \nabla f(P) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f avaliadas em P, e \mathbf{u} é o vetor de direção normalizado (unitário). Em palavras: primeiro achamos as derivadas parciais para montar o gradiente; depois normalizamos \vec{v} para obter \mathbf{u}; por fim fazemos o produto escalar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y,z)=z^{2}e^{xy}. Lembre que, para derivar em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes e usamos a regra da cadeia quando necessário.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = z^{2}\cdot \frac{d}{dx}\big(e^{xy}\big) = z^{2}\cdot e^{xy}\cdot y,
porque \frac{d}{dx}e^{xy}=e^{xy}\cdot y.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) = z^{2}\cdot \frac{d}{dy}\big(e^{xy}\big) = z^{2}\cdot e^{xy}\cdot x.
Derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) = \frac{d}{dz}\big(z^{2}\big)\cdot e^{xy} = 2z\cdot e^{xy},
pois e^{xy} é constante quando derivamos em relação a z.
Portanto, o gradiente simbólico é
\nabla f(x,y,z)=\big(y z^{2} e^{xy},\; x z^{2} e^{xy},\; 2z e^{xy}\big).

Passo 4

Agora avaliamos o gradiente em P=(-1,2,3). Primeiro calculemos os termos básicos: xy=(-1)\cdot 2=-2, logo e^{xy}=e^{-2}. Também z^{2}=3^{2}=9.
Avaliações:
\frac{\partial f}{\partial x}(P)=y z^{2} e^{xy}=2\cdot 9\cdot e^{-2}=18e^{-2},
\frac{\partial f}{\partial y}(P)=x z^{2} e^{xy}=(-1)\cdot 9\cdot e^{-2}=-9e^{-2},
\frac{\partial f}{\partial z}(P)=2z e^{xy}=2\cdot 3\cdot e^{-2}=6e^{-2}.
Portanto
\nabla f(P)=\big(18e^{-2},\; -9e^{-2},\; 6e^{-2}\big).

Passo 5

Precisamos da direção unitária \mathbf{u} obtida normalizando \vec{v}=(3,1,-5). Calculemos a norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{3^{2}+1^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{9+1+25}=\sqrt{35}.
Logo a unidade é
\mathbf{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{3}{\sqrt{35}},\;\frac{1}{\sqrt{35}},\;-\frac{5}{\sqrt{35}}\right).

Passo 6

Agora fazemos o produto escalar \nabla f(P)\cdot \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P) =18e^{-2}\cdot\frac{3}{\sqrt{35}}+(-9e^{-2})\cdot\frac{1}{\sqrt{35}}+6e^{-2}\cdot\left(-\frac{5}{\sqrt{35}}\right).
Fatorando e^{-2}/\sqrt{35}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\frac{e^{-2}}{\sqrt{35}}\big(18\cdot 3 -9 -30\big).
Calculemos a soma entre parênteses: 18\cdot3=54, então 54-9-30=15. Assim
D_{\mathbf{u}}f(P)=\frac{15\,e^{-2}}{\sqrt{35}}.
Podemos racionalizar/ simplificar a fração \displaystyle \frac{15}{\sqrt{35}}. Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{35} obtemos
\frac{15}{\sqrt{35}}=\frac{15\sqrt{35}}{35}=\frac{3\sqrt{35}}{7}.
Portanto outra forma equivalente é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\frac{3\sqrt{35}}{7}\,e^{-2}.

Resposta

\displaystyle D_{\mathbf{u}}f(P)=\frac{15\,e^{-2}}{\sqrt{35}}=\frac{3\sqrt{35}}{7}\,e^{-2}

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