Encontre o limite, se existir, ou mostre que não existe.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, se existir, o seguinte limite:
Informações dadas e pontos importantes extraídos do enunciado:
- O ponto de aproximação é
. - Numerador:
. - Denominador:
. - Precisamos concluir se o limite existe e, em caso positivo, achar seu valor; caso contrário, demonstrar que não existe.
Passo 2
Vou explicar a ideia que vamos usar (sem pular etapas): para limites de funções de várias variáveis, uma forma prática de mostrar que o limite não existe é encontrar duas trajetórias (caminhos) de aproximação ao ponto que levem a valores diferentes do limite. A razão é que, se o limite existisse, o valor da função ao aproximar-se do ponto por qualquer sequência de pontos convergentes ao ponto teria de convergir ao mesmo número. Então, caminhos diferentes com limites distintos provam que o limite não existe. Agora vamos aplicar isso ao problema de forma concreta.
Passo 3
Uma trajetória simples para aproximar
é manter
(ou seja,
) e deixar
. Isso é permitido: aproximar por pontos com
faz
. Substituindo
na expressão temos:
Ou seja, sobre a trajetória
a função reduz-se a
.
Passo 4
Agora escolhemos subtrajetórias no plano
que tendem a
. Uma forma clássica é tomar
com constante
e
. Substituindo
na expressão obtida em
:
para todo
. Note que o termo
cancela, então o limite quando
é exatamente
, que depende de
.
Passo 5
Para mostrar que o limite total não existe, basta apresentar dois valores diferentes obtidos por escolhas distintas de
.
- Se tomarmos
(trajetória ) obtemos
- Se tomarmos
(trajetória ) obtemos
As duas trajetórias ambas aproximam
, mas a função tende a
em uma e a
na outra.
Passo 6
Conclusão lógica: como existe pelo menos duas trajetórias para as quais os limites ao aproximar-se de
são diferentes, o limite da função quando
não pode existir. (Isto decorre diretamente da definição de limite em várias variáveis: se o limite exista, todas as trajetórias produzem o mesmo valor.)
Resposta
O limite não existe.