Encontre o limite, se existir, ou mostre que não existe.
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,1)} \frac{x y+y(z-1)^{2}+x(z-1)^{2}}{x^{2}+y^{2}+(z-1)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, se existir, o seguinte limite:
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,1)} \frac{xy+y(z-1)^{2}+x(z-1)^{2}}{x^{2}+y^{2}+(z-1)^{4}}.
Informações dadas e pontos importantes extraídos do enunciado:
  • O ponto de aproximação é (0,0,1).
  • Numerador: xy+y(z-1)^{2}+x(z-1)^{2}.
  • Denominador: x^{2}+y^{2}+(z-1)^{4}.
  • Precisamos concluir se o limite existe e, em caso positivo, achar seu valor; caso contrário, demonstrar que não existe.

Passo 2

Vou explicar a ideia que vamos usar (sem pular etapas): para limites de funções de várias variáveis, uma forma prática de mostrar que o limite não existe é encontrar duas trajetórias (caminhos) de aproximação ao ponto que levem a valores diferentes do limite. A razão é que, se o limite existisse, o valor da função ao aproximar-se do ponto por qualquer sequência de pontos convergentes ao ponto teria de convergir ao mesmo número. Então, caminhos diferentes com limites distintos provam que o limite não existe. Agora vamos aplicar isso ao problema de forma concreta.

Passo 3

Uma trajetória simples para aproximar (0,0,1) é manter z=1 (ou seja, z-1=0) e deixar (x,y)\to(0,0). Isso é permitido: aproximar por pontos com z=1 faz (x,y,z)\to(0,0,1). Substituindo z=1 na expressão temos:
\frac{xy+y(1-1)^{2}+x(1-1)^{2}}{x^{2}+y^{2}+(1-1)^{4}} = \frac{xy+0+0}{x^{2}+y^{2}+0} = \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}.
Ou seja, sobre a trajetória z=1 a função reduz-se a \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Agora escolhemos subtrajetórias no plano (x,y) que tendem a (0,0). Uma forma clássica é tomar y=kx com constante k\in\mathbb{R} e x\to0. Substituindo y=kx na expressão obtida em z=1:
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x\cdot(kx)}{x^{2}+(kx)^{2}} = \frac{kx^{2}}{x^{2}(1+k^{2})} = \frac{k}{1+k^{2}},
para todo x\neq0. Note que o termo x^{2} cancela, então o limite quando x\to0 é exatamente \dfrac{k}{1+k^{2}}, que depende de k.

Passo 5

Para mostrar que o limite total não existe, basta apresentar dois valores diferentes obtidos por escolhas distintas de k.
  • Se tomarmos k=0 (trajetória y=0,\\ z=1) obtemos
\frac{k}{1+k^{2}}=\frac{0}{1+0}=0.
  • Se tomarmos k=1 (trajetória y=x,\\ z=1) obtemos
\frac{k}{1+k^{2}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
As duas trajetórias ambas aproximam (0,0,1), mas a função tende a 0 em uma e a \tfrac{1}{2} na outra.

Passo 6

Conclusão lógica: como existe pelo menos duas trajetórias para as quais os limites ao aproximar-se de (0,0,1) são diferentes, o limite da função quando (x,y,z)\to(0,0,1) não pode existir. (Isto decorre diretamente da definição de limite em várias variáveis: se o limite exista, todas as trajetórias produzem o mesmo valor.)

Resposta

O limite não existe.

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