Encontre o limite, se existir, ou mostre que não existe.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- O ponto de aproximação é
. - A função é
. - Queremos saber se o limite existe e, se existir, qual é o seu valor.
Passo 2
Para simplificar a escrita e trabalhar perto da origem, faço a substituição
de modo que
equivale a
. A expressão fica
Isto deixa claro que a análise do limite reduz-se ao estudo de
quando
.
Passo 3
Lembrete conceitual rápido e importante: para que o limite de uma função de duas variáveis exista em um ponto, o valor da função ao se aproximar desse ponto deve ser o mesmo por qualquer caminho. Uma maneira prática de mostrar que o limite não existe é encontrar dois caminhos que conduzam a valores diferentes.
Vou primeiro escolher o caminho
, isto é
. Substituindo
na expressão obtemos, para
,
Logo, ao aproximar por
(qualquer aproximação vertical para
), o valor da função tende a
.
Passo 4
Agora escolho o caminho
, isto é
. Substituindo
na expressão obtemos, para
,
Portanto, ao aproximar por
(qualquer aproximação horizontal para
), o valor da função tende a
.
Passo 5
Como encontramos dois caminhos de aproximação ao mesmo ponto que produzem limites diferentes (um dá
e outro dá
), o limite da função quando
não pode existir. Se o limite existisse, deveria ser único e independente do caminho.
Passo 6
(Apenas para reforçar e ajudar na prova:) uma família de caminhos do tipo
(isto é,
, linhas passando pela origem em
) dá, para
,
Variação de
gera todos os valores no intervalo
, mostrando que há muitos valores possíveis ao aproximar por diferentes retas, o que reforça que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.