Encontre o limite, se existir, ou mostre que não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{(y-1)^{4}}{(x-1)^{4}+3(y-1)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{(y-1)^{4}}{(x-1)^{4}+3(y-1)^{4}}.
Informações dadas:
  • O ponto de aproximação é (1,1).
  • A função é \displaystyle \frac{(y-1)^{4}}{(x-1)^{4}+3(y-1)^{4}}.
  • Queremos saber se o limite existe e, se existir, qual é o seu valor.

Passo 2

Para simplificar a escrita e trabalhar perto da origem, faço a substituição
u = x-1,\qquad v = y-1,
de modo que (x,y)\to(1,1) equivale a (u,v)\to(0,0). A expressão fica
\frac{(y-1)^{4}}{(x-1)^{4}+3(y-1)^{4}} = \frac{v^{4}}{u^{4}+3v^{4}}.
Isto deixa claro que a análise do limite reduz-se ao estudo de \displaystyle \frac{v^{4}}{u^{4}+3v^{4}} quando (u,v)\to(0,0).

Passo 3

Lembrete conceitual rápido e importante: para que o limite de uma função de duas variáveis exista em um ponto, o valor da função ao se aproximar desse ponto deve ser o mesmo por qualquer caminho. Uma maneira prática de mostrar que o limite não existe é encontrar dois caminhos que conduzam a valores diferentes.
Vou primeiro escolher o caminho x=1, isto é u=0. Substituindo u=0 na expressão obtemos, para v\to0,
\frac{v^{4}}{0^{4}+3v^{4}} = \frac{v^{4}}{3v^{4}} = \frac{1}{3}.
Logo, ao aproximar por x=1 (qualquer aproximação vertical para (1,1)), o valor da função tende a \displaystyle \frac{1}{3}.

Passo 4

Agora escolho o caminho y=1, isto é v=0. Substituindo v=0 na expressão obtemos, para u\to0,
\frac{0^{4}}{u^{4}+3\cdot 0^{4}} = 0.
Portanto, ao aproximar por y=1 (qualquer aproximação horizontal para (1,1)), o valor da função tende a 0.

Passo 5

Como encontramos dois caminhos de aproximação ao mesmo ponto que produzem limites diferentes (um dá \displaystyle \frac{1}{3} e outro dá 0), o limite da função quando (x,y)\to(1,1) não pode existir. Se o limite existisse, deveria ser único e independente do caminho.

Passo 6

(Apenas para reforçar e ajudar na prova:) uma família de caminhos do tipo u = a v (isto é, x-1 = a(y-1), linhas passando pela origem em (u,v)) dá, para v\to0,
\frac{v^{4}}{a^{4}v^{4}+3v^{4}} = \frac{1}{a^{4}+3}.
Variação de a gera todos os valores no intervalo (0,\tfrac{1}{3}], mostrando que há muitos valores possíveis ao aproximar por diferentes retas, o que reforça que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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